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全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故,造成严重的人员伤亡,特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故,引起了党中央和国务院的高度关注专题36 到底你要放缩到什么程度:放缩法证明数列不等式 考纲要求:1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据不等式的性质:2、掌握放缩的技巧与方法.基础知识回顾:放缩的技巧与方法:(1)常见的数列求和方法和通项公式特点: 等差数列求和公式:,(关于的一次函数或常值函数) 等比数列求和公式:,(关于的指数类函数) 错位相减:通项公式为“等差等比”的形式 裂项相消:通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项(2)与求和相关的不等式的放缩技巧: 在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向) 在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。 若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择:第一个方法是微调:看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧: 裂项相消:在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项) 等比数列:所面对的问题通常为“常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足 ,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,常数可视为的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数,即可猜想该等比数列的首项为,公比为,即通项公式为 。注:此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响(4)与数列中的项相关的不等式问题: 此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即或(累乘时要求不等式两侧均为正数),然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为,另一侧为求和的结果,进而完成证明应用举例:类型一:与前n项和相关的不等式例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列的前项和满足:(为常数,且,)(1)求的通项公式;(2)设,若数列为等比数列,求的值;(3)在满足条件(2)的情形下,设,数列的前项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围【答案】(1)(2)(3)(2)由(1)知,即,若数列为等比数列,则有,而,故,解得,再将代入,得,例2.记.对数列和的子集,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,.(1)求数列的通项公式;(2)对任意正整数,若,求证:;(3)设,求证:.【答案】(1)(2)详见解析(3)详见解析 【解析】试题分析:(1)根据及时定义,列出等量关系,解出首项,写出通项公式;(2)根据子集关系,进行放缩,转化为等比数列求和;(3)利用等比数列和与项的大小关系,确定所定义和的大小关系:设,则因此由,因此中最大项必在A中,由(2)得.试题解析:(1)由已知得.于是当时,.又,故,即.所以数列的通项公式为.(2)因为,所以.因此,.综合得,. 类型二、与通项运算相关的不等式例3.设函数,数列满足:(1)求证:时,;(2)求证: ();(3)求证:()【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析故,则有:例4.已知是数列的前项和,且对任意,有.其中为实数,且.(1)当时,求数列的通项;是否存在这样的正整数,使得成等比数列?若存在,给出满足的条件,否则,请说明理由.(2)当时,设, 判定是否为等比数列;设,若对恒成立,求的取值范围.【答案】(1);不存在;(2)当且时,数列是以为首项,为公比的等比数列,当时,不是等比数列;方法、规律归纳:常见的放缩变形:(1),(2)注:对于还可放缩为:(3)分子分母同加常数:(4) 可推广为: 实战演练:1【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列满足记数列的前项和为, (1)求证:数列为等比数列,并求其通项; (2)求; (3)问是否存在正整数,使得成立?说明理由.【答案】(1) (2) (3)当为偶数时, 都成立,(3)详见解析(3)假设存在正整数 ,使得 成立,因为 , ,所以只要 即只要满足 : ,和: ,对于只要 就可以;对于,当 为奇数时,满足 ,不成立,当 为偶数时,满足,即 令 ,因为 即 ,且当 时, ,所以当 为偶数时,式成立,即当 为偶数时, 成立 . 2【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列中, , , ,其中 求证:数列为等差数列; 设, ,数列的前项和为,若当且为偶数时, 恒成立,求实数的取值范围; 设数列的前项的和为,试求数列的最大值.【答案】见解析 要使对且为偶数恒成立,只要使对且为偶数恒成立,即使对为正偶数恒成立, ,故实数的取值范围是; 由得, , ,设, ,当时, ,即,当时, ,即,因此数列的最大值为 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用,涉及等差数列的判定与证明,其中证明(1)的关键是分析得到与的关系式3【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列的前项和为,满足,数列满足,且(1)求数列和的通项公式;(2)若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围;(3)是否存在正整数,使,()成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,若不存在,请说明理由【答案】(1)(2)(3)不存在(2)由(1)得,于是,所以两式相减得,所以, 由(1)得, 因为对 ,都有,即恒成立,所以恒成立,记,所以, 因为 ,从而数列为递增数列,所以当时取最小值,于是 (3)假设存在正整数(),使成等差数列,则,即 ,若为偶数,则为奇数,而为偶数,上式不成立.若为奇数,设,则,于是,即,当时,此时与矛盾;4已知数列、,其中, ,数列满足,,数列满足 (1)求数列、的通项公式;(2)是否存在自然数,使得对于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;(3)若数列满足,求数列的前项和【答案】(1);(2)存在, ;(3)【解析】试题分析:(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列an的通项公式b1=2,bn+1=2bn可知bn是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出bn的通项公式(2)bn=2n假设存在自然数m,满足条件,先求出,将问题转化成可求得的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn,然后写成分段函数的形式。试题解析:(1)由,即 又,所以 . 当时,上式成立,因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列,故. (3)当为奇数时, ;当为偶数时, . 因此 点睛:数列求和时,要根据数列项的特点选择不同的方法,常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。5【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列的前项和为,且满足, 为常数(1)是否存在数列,使得?若存在,写出一个满足要求的数列;若不存在,说明理由(2)当时,求证: (3)当时,求证:当时, 【答案】(1)不存在,理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析当时, ,两式相减得,即, , , ,当时, ,即,综上, 6【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列分别满足,其中,设数列的前项和分别为.(1)若数列都为递增数列,求数列的通项公式;(2)若数列满足:存在唯一的正整数,使得,称数列为“坠点数列”.若数列“坠点数列”,求若数列为“坠点数列”,数列为“坠点数列”,是否存在正整数,使得,若存在,求的最大值;若不存在,说明理由.【答案】(1).(2), 6.7【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集具有性质对任意的,使得成立.(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;(2)求证: ;(2)若,求的最小值.【答案】(1)不具有(2)见解析(3).(2)因为集合具有性质,所以对而言,存在,使得,又因为,所以,所以,同理可得,将上述不等式相加得: ,所以.(3)由(2)可知,又,所以,所以,构成数集,经检验具有性质,故的最小值为.点睛:本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时,直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可;解答第二问时,先运用题设条件中定义的信息可得,同理可得,再将上述不等式相加得: 即可获证;证明第三问时,充分借助(2)的结论可知,又,所以可得,因此构成数集,经检验具有性质,进而求出的最小值为.8记等差数列的前项和为.(1)求证:数列是等差数列; (2)若 ,对任意,均有是公差为的等差数列,求使为整数的正整数的取值集合;(3)记,求证: .【答案】(1)见解析(2)(3)见解析解:(1)设等差数列的公差为,则,从而,所以当时, ,即数列是等差数列. (2)因为的任意的都是公差为,的等差数列,所以是公差为,的等差数列,又,所以,所以,显然, 满足条件,当时,因为,所以,所以不是整数,综上所述,正整数的取值集合为.(3)设等差数列的公差为,则,所以,即数列是公比大于,首项大于的等比数列,记公比为.以下证明: ,其中为正整数,且,因为,所以,所以,当时, ,当时,因为为减函数, ,所以,所以,综上, ,其中 ,即.9已知数列an的前n项和为Sn,数列bn,cn满足 (n1) bnan1,(n2) cn,其中nN*(1)若数列an是公差为2的等差数列,求数列cn的通项公式;(2)若存在实数,使得对一切nN*,有bncn,求证:数列an是等差数列【答案】(1)cn1(2)见解析. 10已知各项不为零的数列的前项和为,且, , (1)若成等比数列,求实数的值;(2)若成等差数列,求数列的通项公式;在与间插入个正数,共同组成公比为的等比数列,若不等式对任意的恒成立,求实数的最大值【答案】(1)(2)(3)(3),在与间插入个正数,组成公比为的等比数列,故有,即,
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