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全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故,造成严重的人员伤亡,特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故,引起了党中央和国务院的高度关注第3讲数列的综合问题1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式2以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围3将数列与实际应用问题相结合,考查数学建模和数学应用能力热点一利用Sn,an的关系式求an1数列an中,an与Sn的关系an2求数列通项的常用方法(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中,满足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列)例1已知等差数列an中,a22,a3a58,数列bn中,b12,其前n项和Sn满足:bn1Sn2(nN*)(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,求数列cn的前n项和Tn.解(1)a22,a3a58,2d23d8,d1,ann.bn1Sn2(nN*),bnSn12(nN*,n2)由,得bn1bnSnSn1bn (nN*,n2),bn12bn (nN*,n2)b12,b22b1,bn为首项为2,公比为2的等比数列,bn2n.(2)由cn,Tn,Tn,两式相减,得Tn1,Tn2.思维升华给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.跟踪演练1(2017天津市红桥区重点中学八校联考)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Snn2(an2)(nN*)(1)证明:数列an1为等比数列;(2)若bnanlog2(an1),数列bn的前n项和为Tn,求Tn.(1)证明Snn2(an2),当n2时,Sn1(n1)2(an12),两式相减,得an12an2an1,an2an11,an12(an11),2(常数)又当n1时,a112(a12),得a13,a112,数列an1是以2为首项,2为公比的等比数列(2)解由(1)知,an122n12n,an2n1,又bnanlog2(an1),bnn(2n1),Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n),设An12222323(n1)2n1n2n,则2An122223(n1)2nn2n1,两式相减,得An222232nn2n1n2n1,An(n1)2n12.又123n,Tn(n1)2n12.热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题例2设fn(x)xx2xn1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)证明:fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an),且0ann.(1)解方法一由题设fn(x)12xnxn1,所以fn(2)122(n1)2n2n2n1,则2fn(2)2222(n1)2n1n2n,由得,fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1,所以fn(2)(n1)2n1.方法二当x1时,fn(x)1,则fn(x),可得fn(2)(n1)2n1.(2)证明因为fn(0)10,fn112n1220,所以fn(x)在内至少存在一个零点,又fn(x)12xnxn10,所以fn(x)在内单调递增,因此fn(x)在内有且仅有一个零点an,由于fn(x)1,所以0fn(an)1,由此可得ana,故an,所以0anan1n.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练2(2016届浙江省宁波市期末)已知数列满足a12,an12(Snn1)(nN*),令bnan1.(1)求证:是等比数列;(2)记数列nbn的前n项和为Tn,求Tn;(3)求证:,得.又,所以,故80,当n7时,由于S6570,故Sn570(a7a8an)570704780210n6.因为an是递减数列,所以An是递减数列因为An,A882.73480,A976.823100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330 C220 D110答案A解析设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推则第n组的项数为n,前n组的项数和为.由题意知,N100,令100n14且nN*,即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1,前n组所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则N项的和即第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数,即2k12n(kN*,n14),klog2(n3)n最小为29,此时k5,则N5440.故选A.真题体验1(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24,an12Sn1,nN*,则a1_,S5_.答案1121解析由解得a11,a23,当n2时,由已知可得an12Sn1,an2Sn11,由,得an1an2an,an13an,又a23a1,an是以a11为首项,以q3为公比的等比数列S5121.2(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1x23,x3x22.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折线P1P2Pn1,求由该折线与直线y0,xx1,xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q.由题意得所以3q25q20,由已知得q0,所以q2,x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1,P2,Pn1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1,记梯形PnPn
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