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镇成立由镇委书记孙广东任组长,镇委副书记、镇长任副组长,镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组,统筹协调全镇意识形态工作第二课时组合(习题课)1排列与组合的不同点是什么?略2在利用组合数的性质应注意什么?略组合问题的简单应用某大学要从16名大学生(男10人,女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”(1)如果小组中至少有3名女生,可有多少种不同的选法?(2)如果小组中至少有5名男生,可有多少种不同的选法?(3)如果小组中至多有3名女生,可有多少种不同的选法?(1)至少有3名女生的选法可分为如下四类:有3名女生:CC种选法;有4名女生:CC种选法;有5名女生:CC种选法;有6名女生:CC种选法所以至少有3名女生共有CCCCCCCC8 955种选法(2)至少有5名男生的选法可分为如下四类:有5名男生:CC种选法;有6名男生:CC种选法;有7名男生:CC种选法;有8名男生:CC种选法所以至少有5名男生共有CCCCCCCC8 955种选法(3)至多有3名女生的选法可分为如下四类:不含女生:C种选法;有1名女生:CC种选法;有2名女生:CC种选法;有3名女生:CC种选法所以至多有3名女生共有CCCCCCC8 955种选法解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此现有10件产品,其中有2件次品,任意抽出3件检查(1)恰有一件是次品的抽法有多少种?(2)至少有一件是次品的抽法有多少种?解:(1)从2件次品中任取1件,有C种抽法;从8件正品中取2件,有C种抽法由分步乘法计数原理可知,共有CC56种不同的抽法(2)法一:含1件次品有CC种抽法,含2件次品有CC种抽法由分类加法计数原理知,共有CCCC56864种不同的抽法法二:从10件产品中任取3件有C种抽法,不含次品有C种抽法,所以至少有1件次品有CC64种抽法与几何有关的组合问题平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形?法一:以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准第1类:共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有CC48个不同的三角形;第2类:共线的4个点中有1个点为三角形的顶点,共有CC112个不同的三角形;第3类:共线的4个点中没有点为三角形的顶点,共有C56个不同的三角形由分类加法计数原理知,共有4811256216个不同的三角形法二(间接法):从12个点中任意取3个点,有C220种取法,而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有C4种故这12个点构成三角形的个数为CC216.1解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理2图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算常用直接法,也可采用排除法四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们与点A在同一平面上,有多少种不同的取法?解:如图所示,含顶点A的四面体的3个面上,除点A外每个面都有5个点,从中取出3点必与点A共面,共有3C种取法,含顶点A的三条棱上各有三个点,它们与所对的棱的中点共面,共有3种取法根据分类加法计数原理,有3C333种与顶点A共面三点的取法排列与组合的综合运用(1)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()A432B288C216 D108(2)有5本不同的教科书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是()A24 B48 C72 D96(1)因为奇数有4个,偶数有3个,所以要想从取出的四个数字中组成四位数且是奇数,个位数字必须是奇数,因而这样的奇数有CCCA216.(2)据题意可先摆放2本语文书,当1本物理书在2本语文书之间时,只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可,此时共有AA种摆放方法;当1本物理书放在2本语文书一侧时,共有AACC种不同的摆放方法,由分类加法计数原理可得共有AAAACC48种摆放方法(1)C(2)B 1解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列2解排列、组合综合问题时要注意以下几点:(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题(2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法有6名男医生、4名女医生,从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗,但规定男医生甲不能到地区A,则共有多少种不同的分派方案?解:分两类:第1类,甲被选中,共有CCCA种分派方案;第2类,甲不被选中,共有CCA种分派方案根据分类加法计数原理,共有CCCACCA5 7607 20012 960种分派方案.(6分)用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数,其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有多少个?法一(直接法):把从5个偶数中任取2个分为两类:(1)不含0的:由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数,可分两步进行:第1步,选出3奇2偶的数字,方法有CC种;第2步,对选出的5个数字全排列有A种方法(2)含有0的:这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个,有A种排法;再从2,4,6,8中任取一个,有C种取法;从5个奇数数字中任取3个,有C种取法,再把取出的4个数全排列有A种方法,故有ACCA种排法(4分)根据分类加法计数原理,共有CCAACCA11 040个符合要求的数(6分)法二(间接法):如果对0不限制,共有CCA种,(2分)其中0居首位的有CCA种(4分)故共有CCACCA11 040个符合条件的数(6 分)由于数字0是一个特殊元素,5个数字含0与不含0的排列解法不一样,自然将问题分为两大类利用间接法,考不考虑限制条件决定解题的繁简程度,此题若从总体A中除去不符合条件的数,定会增加解题的难度.从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?解:五位数中不含数字0.第1步,选出5个数字,共有CC种选法第2步,排成偶数先排末位数,有A种排法,再排其他四位数字,有A种排法N1CCAA.五位数中含有数字0.第1步,选出5个数字,共有CC种选法第2步,排顺序又可分为两小类:a末位排0,有AA种排列方法b末位不排0.这时末位数有1种选法,而因为0不能排在首位,所以首位有A种排法,其余3个数字则有A种排法N2CC(AAAA)符合条件的偶数个数为NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.1从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有()A140种B120种C35种 D34种解析:选D分三种情况:1男3女共有CC种选法2男2女共有CC种选法3男1女共有CC种选法则共有CCCCCC34种选法2(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个解析:选B当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2A个偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有CA个偶数故符合条件的偶数共有2ACA120(个)37名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案有_种(用数字作答)解析:先从7人中选6人参加公益活动有C种选法,再从6人中选3人在周六参加有C种选法,剩余3人在周日参加,因此有CC140种不同的安排方案答案:1404安排3名支教教师去6所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有_种(用数字作答)解析:每人去一所学校有A种;有两人去一所学校有CA种,共有不同分配方案的种数为ACA210.答案:2105课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1)只有1名女生当选;(2)两名队长当选;(3)至少有1名队长当选解:(1)1名女生,4名男生,故共有CC350种选法(2)将两名队长作为一类,其他11人作为一类,故共有CC165种选法(3)法一:至少有1名队长含有两类:只有1名队长,2名队长故共有CCCC825种选法法二:采用间接法共有CC825种选法一、选择题1某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告要求最后必须播放公益广告,且2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式有()A120种B48种C36种 D18种解析:选C最后必须播放公益广告有C种,2个公益广告不能连续播放,倒数第2个广告有C种,故共有CCA36种不同的播放方式2编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的亮灯方案有()A60种 B20种C10种 D8种解析:选C四盏熄灭的灯产生的5个空当中放入3盏亮灯,有C10种方案3(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A24 B48C60 D72解析:选D第一步,先排个位,有C种选择;第二步,排前4位,有A种选择由分步乘法计数原理,知有CA72(个)4将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法有()A120种 B5种C240种 D180种解析:选C先从5本中选出2本,有C种选法,再与其他三本一起分给4人,有A种分法,故共有CA240种不同的分法5从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百位上排成三位数,这样的三位数有()A40个 B120个C360个 D720个解析:选A先选取3个不同的数,有C种方法;然后把其中最大的数放在百位上,另两个不同的数放在十位和个位上
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