2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式,向量数量积的坐标运算 【问题思考】 1.已知A(1,1),B(3,1),C(3,3).,2.填空: (1)已知两个非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=a1b1+a2b2. (2)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则aba1b1+a2b2=0. (3)向量的长度、距离和夹角公式:,3.做一做:已知a=(3,-1),b=(1,-2),求ab,|a|,|b|,.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“”,错误的打“”. 1.若a=(m,0),则|a|=m. ( ) 2.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a1b1+a2b2=0ab.( ) 3.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),且为钝角,则a1b1+a2b20. ( ) 4.若M(x1,y1),N(x2,y2),则|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,易错辨析,数量积的坐标运算 【例1】 已知向量a=(3,-1),b=(1,-2). (1)求(a+b)2; (2)求(a+b)(a-b). 分析:利用ab=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)等基本公式计算. 解:(1)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), (a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25. (2)方法一:a=(3,-1),b=(1,-2), a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5, (a+b)(a-b)=a2-b2=10-5=5. 方法二:a=(3,-1),b=(1,-2), a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1), (a+b)(a-b)=(4,-3)(2,1)=42+(-3)1=5.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟在正确理解公式ab=x1x2+y2y2的基础上,熟练运用a2=|a|2,(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2,(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2及其变形,并在练习中总结经验,以提高运算能力.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,本例中,若存在c满足ac=-1,bc=3,试求c.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,利用数量积解决长度和夹角问题 【例2】 平面向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),已知ab,ac,求b,c及b与c的夹角.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟因为两个非零向量a,b的夹角满足0180,所以用 来判断,可将分五种情况:cos =1,=0;cos =0, =90;cos =-1,=180;cos 0,且cos 1,为锐角.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,分析:要对ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,利用数量积的坐标运算求解几何问题 【例4】求证:直径所对的圆周角为直角.,反思感悟根据题目条件先将几何问题转化为向量问题,再求解,体现了向量的工具性.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证: (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,易错点:因ab0理解不透彻而致误 【典例】 设平面向量a=(-2,1),b=(,-1)(R),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是( ),探究一,探究二,探究三,易错辨析,纠错心得0,cos 0=1,cos =-1, 当为锐角时,cos(0,1), 当为直角时,cos=0; 当为钝角时,cos(-1,0).,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)b,c(a+b),则c=( ),答案:D 2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案:C 3.已知向量a=(2,4),b=(-2,2),若c=a+(ab)b,则|c|= .,4.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),且a与b的夹角大于90,则实数m的取值范围为 .,5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+b,为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b.,