第4章 线性方程组,4.1 齐次线性方程组,4.2 齐次线性方程组解的结构,若 为(4.1.1)的一个 解，则称 为方程组(4.1.1)的解向量，也是(4.1.2)的解 齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质 性质1 若 是(4.1.2)的解， 为任意实数，则 也是(4.1.2)的解 性质2 若 是(4.1.2)的解，则 也是(4.1.2)的解,性质2 若,是(4.1.2)的解，则,也是(4.1.2)的解,若将齐次线性方程组(4.1.1)的全体解向量所组 成的集合记做 ，则性质1、2即为 （1）若 ， ，则 ； （2）若 ，则 同时说明集合 对向量的线性运算是封闭的， 所以集合 是一个向量空间，称为齐次线性方 程组(4.1.1)的解空间 定义1 方程组(4.1.1)的解空间 的一个基称为 (4.1.1)的一个基础解系 与定义1等价之定义为：齐次线性方程组(4.1.1) 的解集合 的一个极大线性无关组称为方程组,(4.1.1)的一个基础解系 定理2 若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的 秩小于未知数个数，即 ，则方程组 (4.1.1)必存在含有 个解向量 的一个基础解系，且其通解(全部解)可表示为 其解空间 可表示为 由此可见，方程组(4.1.1)有非零解 当 时，(4.1.1)只有零解，此时解空间 只 含一个零向量，为 维向量空间，没有基础解系 .,例1 求齐次线性方程组 的一个基础解系和通解 解 将系数矩阵 施行初等行变换，化其为行最简形矩阵,，基础解系由两个线性无关的解构 成与原方程组同解的方程组为 即 （ 为自由未知数）(1) 令 ，代入 (1) ，得,，,从而得到一个基础解系为 故方程组的通解为,例2 求齐次线性方程组 的通解 解 将系数矩阵 施行初等行变换，有,，基础解系由两个线性无关的解构成与原方程组同解的方程组为,其中 是自由未知数，可任取值，若取 得原方程组的通解为 原方程组的一个基础解系为,，,通解又可表示为,例3 求 ，使齐次线性方程组 有非零解，并求其通解 解 系数行列式 当 ，即 时，方程组有非零 解,将 代入原方程组，得 方程组的系数矩阵 得同解方程组,令 ，得通解 再将 代入原方程组，得 方程组的系数矩阵,得同解方程组 令 ，得通解,4.3 非齐次线性方程组解的结构,设非齐次线性方程组 (4.3.1) 若记 则与方程组(4.3.1)等价的矩阵形式和向量形式 分别为 (4.3.2),求解非齐次线性方程组，首先要判断该方 程组是否有解若方程组有解，称该方程组是 相容的；若方程组无解，称该方程组是不相容 的 定理3 非齐次线性方程组(4.3.1) 有解 在非齐次线性方程组 中，令 得到 的齐次线性方程组 ，称为与方程组 对应的齐次方程组，或称为方程组 的导出 组,和,，,非齐次线性方程组 的解也有两个重要 性质 性质3 若 是方程组 的解，则 是对应的齐次线性方程组 的解 性质4 若 是方程组 的解， 是对应的齐 次方程组 的解，则 仍是方程组 的解 定理4 设非齐次线性方程组(4.3.1)的系数矩阵 为 ，增广矩阵为 ，则 （1）方程组(4.3.1)有惟一解 ； （2）方程组(4.3.1)有无穷多解,例1 求解方程组 解 对增广矩阵 施行初等行变换,因为 ，所以方程组有解，且同 解方程组为 或 即 ，则 ，得方程组的一个 特解,令 ，则得原方程组 的通解 例2 求解方程组,解 对增广矩阵 行初等行变换 因为 ，故方程组无解,例3 求非齐次线性方程组 的通解、对应齐次线性方程组的通解和一个基 础解系 解 对增广矩阵 施行初等行变换,得同解方程组,令 ，得原方 程组的通解,对应齐次线性方程组的一个基础解系及通解分别为,和,例7,取何值时，线性方程组,（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其解,解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 则 （1）当 且 时， 此时方程组有惟一解； （2）当 时，,，,，此时方程组无解； （3）当 时， ，此时方程组有无穷多解 由同解方程组,得通解,一般齐次线性方程组为 (4.1.1) 其矩阵形式为 (4.1.2) 其向量形式为 (4.1.3),其中,(4.1.1)、(4.1.2)和(4.1.3)式是同一个线性方程组的三种不同表现形式,定理1 若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的秩 ，则(4.1.1)只有惟一零解； 若 ，则(4.1.1)有无穷多解 推论1 若齐次线性方程组(4.1.1)中的方程个数 小于未知数个数 ，则该齐次线性方程组必有非 零解 推论2 若齐次线性方程组(4.1.1)中的方程个数 与未知数个数 相等且系数行列式等于零，则该 齐次线性方程组必有非零解,