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第一章 集合与函数概念,1.2 函数及其表示,1.2.1 函数的概念,很多人都喜欢玩打台球的游戏,当你从不同的角度或力量发力时,就会产生不同的效果,计算机是如何进行分析的呢?,为了研究运动变化的规律,人们一般借助于函数来研究.,初中学习的函数概念是什么?,设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则称x是自变量,y是x的函数.其中自变量x的取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域. 高中是怎么定义函数概念的?请进入本节课的学习!,在数学中函数概念的解释有两个基本的派别,第一派叫古典派,它的主要目标是数学在物理和技术中的传统应用,以“变量”的概念为基础。初中数学里的函数概念属于这派;第二派叫现代派(或集合论派),以“元素”概念为基础,函数概念的外延更广,用于所有传统的数学应用和新近出现的新的应用领域,1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.(重、难点) 2.会判断给出的两个函数是否是同一函数. 3.能正确使用区间表示数集.(易混点),观察下列三个实例有什么不同点和共同点? 1.炮弹的射高与时间的变化关系问题 一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.,一 函数的概念,这里,炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26,炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B =h|0h845.从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.,2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题,近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从19792001年的变化情况.,由图中的曲线可知,时间t的变化范围是数集A= t|1979t2001,臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B =S|0S26.并且,对于数集A中的每一个时刻t,按照图中的曲线,在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.,3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题,国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.如下表所示 “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况. (恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额),“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况,三个实例有什么共同点和不同点?,实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系, 实例2是用图象刻画变量之间的对应关系, 实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.,(1)都有两个非空数集. (2)两个数集之间都有一种确定的对应关系.,函数的相关概念 设A,B是_,如果按照某种确定的对应关 系f,使对于集合A中的_,在集合B中都 有_确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为 从_的一个函数,记作y=f(x),xA. 其中,x叫做_,x的取值范围A叫做函数的 _;与x的值相对应的y值叫做_,函数 值的集合f(x)|xA叫做函数的_.,非空的数集,任意一个数x,唯一,集合A到集合B,自变量,定义域,函数值,值域,(2)任意的xA,存在唯一的yB与之对应. (3)构成函数的三要素:定义域、值域、对应关系(f:AB).,(1) A,B是非空数集.,函数概念中的关键词,判断下列对应能否表示y是x的函数,(1)y=|x| (2)|y|=x (3)y=x2 (4)y2=x,(1)能,(2)不能,(3)能,(4)不能,关注是否一个自变量的值仅对应一个函数值,例1 已知函数 (1)求函数的定义域.(2)求 的值. (3)当a0时,求f(a),f(a-1)的值.,分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.,解:(1) 有意义的实数x的集合是x|x-3, 有意义的实数x的集合是x|x-2,所以,这个函数 的定义域就是 .,(2),(3)因为a0,所以f(a),f(a-1)有意义.,已知f(x)=3x2, x0,1,2,3,5, 求f(0), f(3)和函数的值域.,解:,值域为,初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么?,R,R,R,R,R,y=x与 是同一函数吗?,提示:不是,定义域不同,探究点2 相等函数,思考1:,思考2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗? 提示:因为函数是两个数集之间的对应关系,所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的,如f(x)=3x+4与f(t)=3t+4表示相等函数.,思考3:如何判断两个函数是否为同一函数?,提示:构成函数的三个要素是对应关系f、定义域A、值域f(x)|xA,只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数),例2 下列函数中哪个与函数y=x相等( ),A. B.,C. D.,B,如果两个函数定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等(或为同一函数),关注函数的三要素,下列两个函数是否表示同一个函数?,(1),(2),(3),(4),是,不是,定义域不同,不是,定义域不同,不是,对应关系不同,设a,b是两个实数,而且ab.我们规定:,探究点3 区间的概念,满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间,表示 为_.,满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间,表示为 _.,满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开 半闭区间,分别表示为_,,这里的_都叫做相应区间的端点.,a,b,(a,b),a,b),(a,b,实数a与b,数轴上所有的点,思考:区间可以表示数集,数集一定可以用区间表示吗? 提示:区间可以表示数集,但只能表示一些连续的实数集的子集,一些孤立的数集不一定可以用区间表示,如集合1,2,3不能用区间表示.,例3 把下列数集用区间表示: (1)x|x-2. (2)x|x0. (3)x|-1x1或2x6. 解析:(1)x|x-2用区间表示为-2,+). (2)x|x0用区间表示为(-,0). (3)x|-1x1或2x6用区间表示为 (-1,1)2,6).,1.下列图象中不能作为函数的是( ).,A,B,C,D,B,任意的xA,存在唯一的yB与之对应.,2.与y=x是相等函数的是( ) A.y=|x| B.y= C.y= D.y=t 【解析】对A,B,对应关系不同;对C,定义域不同.,D,3.试用区间表示下列实数集 (1)x|2x3 (2)x|x15 (3)x|x0x|-3 x8 (4)x|x-10x|3x6,
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