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第3课时特殊角的三角函数值教学目标知识与技能1通过探究使学生能推导并熟记30、45、60角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角的度数2能熟练计算含有30、45、60角的三角函数的运算式过程与方法1结合各三角函数概念和含30、45的直角三角形性质特点,推导出特殊角的三角函数值,了解知识之间的联系,学会综合运用2经历特殊角的三角函数值的学习,进一步了解三角函数的特点,同时认识三角函数运算也属于数的运算系列,认识由角到边和由边到角的转换情感、态度与价值观通过学习认识数学知识之间是相互联系的,新旧知识结合能得到新的规律重点难点重点正确推导并熟记30、45、60角的三角函数值,并能熟练进行有关计算难点30、45、60角的三角函数值的推导过程和记忆教学过程一、创设情境,导入新课1什么是正弦、余弦、正切?2含30、45角的直角三角形有那些性质?3还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗?即sin30,sin45.4你还能推导出sin60的值及30、45、60角的其他三角函数值吗?教师提出问题,学生根据所学回答,并尝试总结推导二、合作交流,探究新知1实践探索让学生画30、45、60的直角三角形,分别求sin30、sin45、sin60的值,以此类推求出30、45、60角的所有三角函数值归纳结果:304560sinAcosAtanA1理解:(1)三角函数值是数值,可以和数一样进行运算(2)三角函数值和角的度数是一一对应的,即由值可以求角的度数,由角的度数可以知道三角函数值提出问题,引导学生推导,并让学生尝试列表记忆学生画图,根据直角三角形知识和三角函数定义自己推导出各三角函数值,进一步理解角度一定,三角函数值也一定的道理引导学生认识理解2拓广探索观察特殊角的三角函数值表,你有哪些发现,能阐述一下你的理由吗?(提示)结论一:正弦、余弦、正切值与角度大小的变化关系?结论二:正余弦关系?还可以继续推广,发挥学生主动性,让学生思考、发现、验证教师:引导提示学生根据特殊角的三角函数值表,发现三角函数间的规律特点学生:观察、思考、发现、讨论、验证三、运用新知,深化理解例1如图,在ABC中,ABC90,A30,D是边AB上一点,BDC45,AD4,求BC的长分析:由题意可知BCD为等腰直角三角形,则BDBC,在RtABC中,利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可解:B90,BDC45,BCD为等腰直角三角形,BDBC.在RtABC中,tanAtan30,即,解得BC2(1)方法总结:在直角三角形中求线段的长,如果有特殊角,可考虑利用三角函数的定义列出式子,求出三角函数值,进而求出答案例2已知ABC中的A与B满足(1tanA)2|sinB|0,试判断ABC的形状分析:根据非负性的性质求出tanA及sinB的值,再根据特殊角的三角函数值求出A及B的度数,进而可得出结论解:(1tanA)2|sinB|0,tanA1,sinB,A45,B60,C180456075,ABC是锐角三角形方法总结:一个数的绝对值和偶次方都是非负数,当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时,则其中的每一项都必须等于0.例3要求tan30的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算作RtABC,使C90,斜边AB2,直角边AC1,那么BC,ABC30,tan30.在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,探究tan15与tan75的值分析:如图,根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长,进而得出tan15,tan75.解:作B的平分线交AC于点D,作DEAB,垂足为E.BD平分ABC,CDBC,DEAB,CDDE.设CDx,则AD1x,AE2BE2BC2.在RtADE中,DE2AE2AD2,x2(2)2(1x)2,解得x23,tan152,tan752.方法总结:解决问题的关键是添加辅助线构造含有15和75的直角三角形,再根据三角函数的定义求出15和75的三角函数值四、课堂练习,巩固提高1教材P67练习2请同学们完成探究在线高效课堂“随堂测评”内容五、反思小结,梳理新知本节学了哪些内容?你有哪些认识和收获?1特殊角的三角函数值2怎样由角求值、由值求角?结合概念综合运用教师引导学生自我总结,学会梳理知识结构,加深认识,归纳方法,重点在于应用六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”内容2教材P69习题28.1第3题
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