第2课时 函数的最大(小)值,第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值,学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.会借助单调性求最值. 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 函数的最大(小)值,在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？,答案,答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.,一般地，设函数yf(x)的定义域为I.如果存在实数M满足： (1)对于任意xI，都有f(x)M. (2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值. 如果存在实数M满足： (1)对于任意xI，都有f(x)M. (2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值.,梳理,答案 x1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点.,思考,知识点二 函数的最大(小)值的几何意义,函数yx2，x1,1的图象如下： 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.,答案,梳理,一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.,题型探究,例1 已知函数f(x) (x0)，求函数的最大值和最小值.,解答,类型一 借助单调性求最值,解 设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，,当x10，x1x210，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上单调递减.,(1)若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a). (2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b). (3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.,反思与感悟,跟踪训练1 已知函数f(x) (x2,6)，求函数的最大值和最小值.,解答,解 设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，,由2x10，(x11)(x21)0， 于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).,例2 (1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；,类型二 求二次函数的最值,解答,解 函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1， f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2). f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.,(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；,解答,解 对称轴x1， 当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.,f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.,f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4. 当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3. 设函数最大值为g(t)，最小值为(t)，,(3)已知函数f(x)x2 3，求函数f(x)的最值；,解答,由(1)知yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增. 当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.,(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m),解答,解 作出函数h(t)4.9t214.7t18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t214.7t18，,于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.,(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素. (2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.,反思与感悟,解 设x2t(t0)，则x42x23t22t3. yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增. 当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.,跟踪训练2 (1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；,解答,解 函数图象的对称轴是xa， 当a4时，f(x)在2,4上是减函数， f(x)minf(4)188a. 当2a4时，f(x)minf(a)2a2.,(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；,解答,(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为hx22x ，x0， .求水流喷出的高度h的最大值是多少？,解答,例3 已知x2xa0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围.,类型三 函数最值的应用,解答,解 方法一 令yx2xa， 要使x2xa0对任意x(0，)恒成立，,方法二 x2xa0可化为ax2x. 要使ax2x对任意x(0，)恒成立，只需a(x2x)max，,引申探究 把例3中“x(0，)”改为“x( ，)”，再求a的取值范围.,解答,恒成立的不等式问题，任意xD，f(x)a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决.任意xD，f(x)a恒成立f(x)maxa.,反思与感悟,跟踪训练3 已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围.,解答,a0.a的取值范围是(，0.,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,2.函数f(x) 在1，)上 A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值 C.有最大值也有最小值 D.无最大值也无最小值,答案,2,3,4,5,1,3.函数f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分别为 A.4,1 B.4,0 C.1,0 D.以上都不对,答案,2,3,4,5,1,A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对,答案,2,3,4,5,1,答案,2,3,4,5,1,规律与方法,1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.,本课结束,