2.1.2 指数函数及其性质(二),第二章 2.1 指数函数,学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断. 2.能借助指数函数性质比较大小. 3.会解简单的指数方程、不等式. 4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一 不同底指数函数图象的相对位置,y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？,答案,答案 经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图象在y2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图象上方.,一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：,梳理,(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变 小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大 变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图. (2)指数函数yax与y (a0且a1)的图象关于y轴对称.,思考,知识点二 比较幂的大小,若x1x2，则 与 (a0且a1)的大小关系如何？,答案,答案 当a1时，yax在R上为增函数，所以 ， 当0a1时，yax在R上为减函数，所以 .,梳理,一般地，比较幂大小的方法有： (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.,单调,图象,中间值,思考,知识点三 解指数方程、不等式,若 ，则x1，x2的大小关系如何？,答案,答案 当 f(x)在区间m，n上单调递增(减)时，若x1，x2m，n， 则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2). 所以，当0a1时， x1x2， 当a1时， x1x2. 此原理可用于解指数方程、不等式.,梳理,简单指数不等式的解法： (1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的 求解； (2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的 求解； (3)形如axbx的不等式，可借助两函数 yax，ybx的图象求解.,单调性,单调性,知识点四 与指数函数复合的函数单调性,思考,答案,一般地，有：形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质 (1)函数 yaf(x)与函数yf(x)有 的定义域. (2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性； 当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性 .,相同,梳理,相同,相反,题型探究,例1 解下列方程.,解答,类型一 解指数方程,32x432(x2)， 2x42(x2)， x2.,解答,(2)22x232x10.,解 22x232x10， 4(2x)232x10. 令t2x(t0)，则方程可化为4t23t10，,(1)af(x)b型通常化为同底来解. (2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.,反思与感悟,跟踪训练1 解下列方程. (1)33x281；,解答,解 8134，33x234， 3x24，解得x2.,(3)52x65x50.,解答,解 令t5x，则t0， 原方程可化为t26t50， 解得t5或t1，即5x5或5x1， x1或x0.,命题角度1 比较大小 例2 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.72.5 ， 1.73；,类型二 指数函数单调性的应用,解答,解 1.71， y1.7x在(，)上是增函数. 2.53， 1.72.51.73.,(2)1.70.3 ， 1.50.3；,解答,解 方法一 1.71.5， 在(0，)上，y1.7x的图象位于y1.5x的图象的上方. 而0.30，1.70.31.50.3.,1.70.31.50.3.,(3)1.70.3,0.83.1.,解答,解 1.70.31.701，0.83.10.801， 1.70.30.83.1.,当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.,反思与感悟,跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小. (1)0.80.1，1.250.2；,解答,解 00.81， y0.8x在R上是减函数. 0.20.1， 0.80.20.80.1， 即0.80.11.250.2.,解答,命题角度2 解指数不等式 例3 解关于x的不等式：a2x1ax5(a0，且a1).,解答,解 (1)当01时，a2x1ax5， 2x1x5，解得x6. 综上所述，当01时，不等式的解集为x|x6.,解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.,反思与感悟,跟踪训练3 已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是 .,答案,解析,命题角度3 与指数函数复合的单调性问题 例4 (1)求函数y 的单调区间；,解答,在(，3上，yx26x17是减函数，,在3，)上，yx26x17是增函数，,解答,同理可得减区间是(，2.,复合函数单调性问题归根结底是由x1x2到f(x1)与f(x2)的大小，再到g(f(x1)与g(f(x2)的大小关系问题.,反思与感悟,跟踪训练4 求下列函数的单调区间. (1)y ；,解答,解 设yau，ux22x3， 由ux22x3(x1)24，得u在(，1上为减函数，在1，)上为增函数. 当a1时，y关于u为增函数； 当01时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1； 当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，).,解答,解 已知函数的定义域为x|x0.,而根据y 的图象可知在区间(，1)和(1，)上，y是关于u的减函数， 原函数的增区间为(，1)和(1，).,当堂训练,1.若a0.5 ，b0.5 ，c0.5 ，则a、b、c的大小关系是 A.abc B.abc C.acb D.bca,答案,2,3,4,5,1,解析,2.方程42x116的解是,答案,2,3,4,5,1,解析,3.函数f(x) 的单调递增区间为 A.(，0 B.0，) C.(1，) D.(，1),答案,2,3,4,5,1,解析,f(x)的单调递增区间为u(x)x21的单调递减区间，即(，0.,4.设0a1，则关于x的不等式 的解集为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 0a1，yax在R上是减函数，,(1，),又,2x23x22x22x3，解得x1.,5.若指数函数yax 在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a .,解析 若0a1，则a1a1，即a2a10，,若a1，则aa11，即a2a10，,答案,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,1.比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性. (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn. 2.解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.,(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解. (3)形如axbx的不等式，可借助图象求解. 3.(1)研究 yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是01时，yaf(x)与f(x)单调性相同. 当0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相反. (2)研究 yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.,本课结束,