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北师大版九年级上册,第三节:正方形的性质与判定,第一章:特殊平行四边形,第一课时 正方形的性质,复习回顾:,(1)平行四边形的对边_,对角_, 对角线_.,(2)菱形的四边_,对边_,对角_, 对角线_,且每一组对角线平分一组对角.,(3)矩形的对边_,对角_, 对角线_.,平行且相等,互相平分且相等,相等,互相平分且互相垂直,平行且相等,互相平分,平行,相等,相等,相等,问题:,从这个图形中你能得到什么? 你是怎样想到的?,90,当 =90时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.,定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。,90,正方形还可以怎样定义呢?,定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。,正方形在生活中随处可见,你能举出一些生活中正方形的例子吗?与同伴交流。,如何在平行四边形的基础上定义正方形呢?,一组邻边相等,一内角是直角,定义3.有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。,正方形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案和工艺品设计上.,平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,正方形,正方形是矩形吗?正方形是菱形吗?,正方形既是矩形,也是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质。,(A),(B),(D),探究新知,正方形的性质=菱形的性质+矩形性质,边:,对边平行,四边相等,角:,四个角都是直角,对角线:,相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角,图形的对称性:,既是轴对称图形,又是中心对称图形.,已知:正方形ABCD, 求证:AB=BC=CD=AD ,A=B=C=D. 证明:四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD , 四边形ABCD是正方形 四边形ABCD是矩形 A=B=C=D.,证明定理:正方形的四个角都是直角,四条边相等。,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明定理:正方形的对角线相等且互相垂直.,证明:ABCD是正方形, AB=CD,ABC=DCB, BC=BC. ABCDCB, AC=BD. OB=OD,AB=AD,OA=OA, AOBAOD, AOB=AOD, 又AOB+AOD=90, AOB=90, ACBD, 即对角线互相垂直且相等.,已知ABCD是正方形,AC、BD分别是正方形的两条对角线,且交于点O,求证:AC=BD,ACBD.,例1正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O,且AB2cm,则AC=_.,解析:四边形ABCD是正方形,BC=AB=2,ABC=90, 在RtABC中,,例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E,PFBD于F,则PE+PF=_.,分析:由正方形的性质可推理出PE=AE,PF=OE,PEPFOA.,解:ABCD是正方形 AO= AC=5 ,BAC=45,ACBD 又PEAC, PFBD 四边形PEOF为矩形 PF=OE 在APE中,PAE=45 AE=PE PE+PF=AE+OE=AO=5.,5,例3:如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.,分析:(1)由正方形的性质得到BCD=DCF=90,BC=CD,结合CE=CF,可证BCEDCF,从而有BE=CF; (2)延长BE交DE于点M,由全等可知CBE=CDF,借助等量代换得到BMF=90,从而有BECF.,(1)四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE=90 DCF=180-BCE=180-90=90. BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF.,解:BE=DF,且BEDF.理由如下:,(2)如图,延长BE交DE于点M, BCEDCF. CBE=CDF. DCF=90. CDF+F=90. CBE+F=90. BMF=90. BEDF.,1.判断题: (1)四个角都相等的四边形是正方形. ( ) (2)四条边都相等的四边形是正方形. ( ) (3)对角线相等的菱形是正方形. ( ) (4)对角线互相垂直的矩形是正方形. ( ) (5)对角线垂直相等的四边形是正方形. ( ) (6)四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形. ( ),3.正方形ABCD中,M为AD中点,MEBD于E,MFAC于F,若ME+MF =8cm,则AC=_.,30,16cm,2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边DCE,则AEB=_.,解四边形ABCD是正方形,CDE是等边三角形 BCE=90+60=150,CB=CE CEB=15 同理AED=15 AEB=60-15-15=30,提示:AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.,1.如图所示,正方形ABCD中,P为BD上一点,PEBC于E, PFDC于F。试说明:AP=EF,解:连接PC,PEBC , PFDC,而四边形ABCD是正方形,FCE=90,四边形PECF是矩形,PC=EF,又四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形,AP=PC,AP=EF,2.正方形ABCD中,E是BC延长线上一点,且CE=AC, AE交DC于点F,试求E, AFC的度数,解:,正方形ABCD的四个角均为直角,且对角线平分一组对角,CE=AC,E=CAE,ACB是ACE的一个外角,ACB=E+CAE=2E,AFC是CEF的一个外角,AFC=E+FCE=22.5+90=112.5,E=22.5, AFC=112.5,j,F,E,A,B,D,C,平行四边形,正方形,有一个角是直角,一组邻边相等,正方形既是菱形,又是矩形,因此正方形有下列性质:,4.正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线,以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.,1.正方形的四条边都相等,四个角都是直角,2.正方形的对角线相等,且互相垂直平分;每条对角线平分一组对角,3.正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.,1.习题1.7:知识技能第2,3两题 2.预习第二课时.,第二课时 正方形的判定,(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (2)有一个角是直角的菱形是正方形; (3)有一组邻边相等的矩形是正方形.,2.正方形的性质,1.正方形的定义,边,角,对角线,正方形的对边平行且相等,四条边相等,正方形的四个角都是直角,正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开,怎样剪才能剪出一个正方形?,创设情境,满足什么条件的矩形是正方形,什么条件的菱形是正方形,什么条件的平行四边形是正方形?,你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗?,满足什么条件的矩形是正方形?,操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢?请你与同学交流一下,你能说说矩形与正方形的关系吗?,总结:矩形+( )=正方形,1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线互相垂直的矩形是正方形.,探究1,或对角线互相垂直,有一组邻边相等的矩形是正方形.,在矩形ABCD中,AB=AD,矩形四边形ABCD是正方形,正方形的判定:矩形法,几何语言:,对角线互相垂直的矩形是正方形.,几何语言:,在矩形ABCD中,ACBD,矩形四边形ABCD是正方形,3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形.,操作2 .你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗?如何变?,总结:菱形+( )=正方形,你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗?,探究2,满足什么条件的菱形是正方形?,或对角线相等,有一个角是直角的菱形是正方形.,在菱形ABCD中,BAC=90,菱形四边形ABCD是正方形,正方形的判定:菱形法,几何语言:,对角线相等的菱形是正方形.,几何语言:,在菱形ABCD中,AC=BD,菱形四边形ABCD是正方形,满足什么条件的平行四边形是正方形?,探究3,( )+ ( )+平行四边形=正方形。,你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗?,5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.,有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.,在平行四边形ABCD中,A=90,AB=AD,平行四边形ABCD是正方形,正方形的判定:定义法,几何语言:,对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.,在平行四边形ABCD中,AC=BD,ACBD 平行四边形ABCD是正方形,几何语言:,探究4,(1)四条边相等,四个角都是直角,(2)对角线互相垂直、平分且相等,满足什么条件的四边形是正方形?,既是菱形又是矩形的四边形是正方形.,正方形常用的判定方法: 1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线互相垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形. 5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. 7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.,例1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正 方形的是( ) AAOBOCODO,ACBD BADBC AC CAOCO BODO ABBC DACBD,解析:由正方形的判定,对角线互相平分且相等,互相垂直的四边形是正方形,故选A.,A,例3. 已知:如图,在矩形ABCD中,BE平分ABC,CE平分DCB,BF/CE,CF/BE,求证:四边形BECF是正方形.,分析:先由BFCE,CFBE得出四边形 BECF是平行四边形,又因为BEC=90得 出四边形BECF是矩形,BE=CE邻边相等的 矩形是正方形 证明:BFCE,CFBE 四边形BECF是平行四边形, 又在矩形ABCD中,BE平分ABC,CE平分DCB EBA=ECB=45 BEC=90,BE=CE 四边形BECF是正方形,巩固练习,1.已知四边形ABCD中,A=B=C=90,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( ) A.D=90 B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD,2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD中选两个作为补充条件,使ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是( ) A. B. C. D.,由A=B=C=90可判定为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定为正方形,故选D,D,B,3.如图,在RtABC中,C=90,DE垂直平分AC,DFBC,当ABC满足条件 _ 时,四边形DECF是正方形(要求:不再添加任何辅助线,只需填一个符合要求的条件)
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