,正 态 分 布,引入,正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。,这个试验是英国科学家高尔顿设计的,具体如下:在一块木板上,订上n+1层钉子,第1层2个钉子,第2层3个钉子,第n+1层n+2个钉子,这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多.自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中小球碰到钉子时,从左边落下的概率是p,从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此.最后落入底板中的某个格.下面我们来试验一下:,25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39,某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下:,正态曲线的由来,列出频率分布表,100件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,25.565,o,2,4,6,8,频率分布直方图,200件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,o,2,4,6,8,产品内径尺寸/mm,o,2,4,6,8,样本容量增大时频率分布直方图,总体密度曲线,可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线-总体密度曲线.,一、正态曲线及性质,1.正态曲线的定义,2.正态曲线的性质：,上方,1,越小,越大,若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b的概率为:,二、正态分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面.,数学趣苑,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中，测量结果；,在生物学中，同一群体的某一特征；,在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,总体的期望,标准差,方差相等、均数不等的正态分布图示,=0.5,= -1,=0,= 1,若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数；,均数相等、方差不等的正态分布图示,=1,=0,若 固定, 大时, 曲线矮而胖； 小时, 曲线瘦而高, 故称 为形状参数。,正态总体的函数表示式,当= 0，=1时,标准正态总体的函数表示式,正态曲线下的面积规律,X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。,S(-,-X),S(X,)S(-,-X),正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。,S(-x1, -x2),-x1 -x2 x2 x1,S(x1,x2)=S(-x2,-x1),特殊区间的概率:,若XN ,则对于任何实数a0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。,特别地有,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6，在 以外取值的概率只有0.3 。,由于这些概率值很小（一般不超过5 ），通常称这些情况发生为小概率事件。,0.6826,0.9544,0.9974,三、.正态分布的3原则,2. 3原则,正态总体几乎总取值于区间 之内而在此区间以外取值的概率只有0.26,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.,在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量只取 之间的值，并称为3原则,例题分析,要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数,的值,其中决定曲线的对称轴的位置,则与曲线的形状和最大值有关,服从正态分布的概率计算,正态分布的性质,解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响,某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布，其密度曲线如图所示 (1)求总体随机变量的期望和方差； (2)求成绩X位于区间(52,68的概率,(2)成绩X位于区间(52,68的概率为 P(2X2)0.954 4.,解:(1)从给出的密度曲线图可知，,服从正态分布的概率计算,服从正态分布的概率计算,服从正态分布的概率计算,求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上,由正态分布的特征易得,0.1,0.0026,正态分布的应用,正态分布的应用,解决此类问题，首先要确定与的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x对称的区间上概率相等这一性质的应用,(10分)若XN(5, 1), 求P(6X7).,利用正态曲线的对称性求概率,解:因为XN(5,1),又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称,(10分)若XN(5, 1), 求P(6X7).,利用正态曲线的对称性求概率,(1)本题考查正态分布问题，重点考查根据正态曲线的对称性求概率 (2)本题易错原因是，找不到(3, 4)与(6, 7)的对称关系，无法求解有些考生计算错误,(10分)若XN(5, 1), 求P(6X7).,方法与技巧,失误与防范,练习、解答题,不属于区间(3, 5 的概率为,(1)非负性:曲线 在轴的上方,与x轴不相交.,(2)定值性:曲线 与x轴围成的面积为1,(3)对称性:正态曲线关于直线 x=对称,曲线成“钟形”,(4)单调性:在直线 x=的左边, 曲线是上升的;在直线 x=的右边, 曲线是下降的.,1.正态曲线的性质,(5)最值性:当 x=时, 取得最大值 .,(6)几何性:参数和的统计意义: E(x)=,曲线的位置由决定; D(x)=2,曲线的形状由决定.,(1) 利用3原则,将随机变量的取值转化到三个特殊区间中. 熟记 P(X) P(2X2), P (3X3)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对 称的区间上概率相等 P(Xa)1P(xa)，P(X a)P(Xa),2正态分布中的概率计算的常用方法,若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0,即P(Xa)0，而Xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同,3服从正态分布的随机变量X的概率特点,忆 一 忆 知 识 要 点,A,练一练,A,【2】某校高三男生共1000人, 他们的身高X(cm)近似服从正态分布 ,则身高在180cm以上的男生人数大约是( ) A.683 B.159 C.46 D.317,练一练,B,练一练,C,练一练,B,这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28,解:设参赛学生的分数为 ,【4】(2006湖北)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约为多少人？,P(90)1P(90),因此, 参赛总人数约为,C,【6】(2010广东理)已知随机变量X服从正态分布N(3, 1)且P(2x4)0.6826，则P(X4)( ) A0.1588 B0.1587 C0.1586 D0.1585,B,解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！ 波利亚,卡尔弗里德里希高斯,高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)(1777年 4月30日1855年2月23日)，生于不伦瑞克，卒 于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文 学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的 数学家，并有数学王子的美誉。 1792年，15岁德高斯进入Braunschweig学院。 在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现 了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律” (Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。 1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，17岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。,18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。 在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。 高斯计算的谷神星轨迹，高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n