,第三章 导数与微分,3.1 导数的概念 一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的意义 五、可导与连续的关系 六、单侧导数,一、问题的提出,1. 直线运动的速度问题,如图,取极限得,0,瞬时速度,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,1.定义:,其它形式,即,关于导数的说明：,注意:,2.导函数,三、由定义求导数,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地:,例如,例4,解,例5,解,四、导数的意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,例6,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为:,所求切线方程为,法线方程为,2. 物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,五、可导与连续的关系,定理,证,注：连续是可导的必要条件.,连续函数不存在导数举例,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,例如,例如,例8,解,2.右导数:,1.左导数:,注：,六、单侧导数,例9,解,七、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题,思考题解答,练习题答案,