第7讲三角函数的图像与性质1.(1)2017全国卷改编 已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+23,则为了得到曲线C2,要把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度. (2)2016全国卷 函数y=sin x-3cos x的图像可由函数y=sin x+3cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.试做命题角度三角函数的图像变换关键一:化为同名三角函数.关键二:两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”.关键三:x+=x+.2.(1)2017全国卷 函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最大值是.(2)2014全国卷 函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)的最大值为.试做命题角度三角函数的最值问题方法一:利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x或cos x的二次函数,采用配方法求最值.方法二:利用诱导公式、辅助角公式将函数化为f(x)=Asin(x+)+b(或f(x)=Acos(x+)+b),0的形式,再根据三角函数的有界性求最值.3.(1)2018全国卷 若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是()A.4B.2C.34D.(2)2015全国卷 函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图M2-7-1所示,则f(x)的单调递减区间为()图M2-7-1A.k-14,k+34,kZB.2k-14,2k+34,kZC.k-14,k+34,kZD.2k-14,2k+34,kZ试做命题角度三角函数的单调性 (1)将函数化为f(x)=Asin(x+)+b(或f(x)=Acos(x+)+b),0的形式;(2)把x+(0)看成整体,利用正弦函数、余弦函数的单调性求解.4.(1)2017全国卷 设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是 ()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在2,单调递减(2)2016全国卷 已知函数f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为 ()A.11B.9C.7D.5试做命题角度三角函数性质的综合考查解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为y=Asin(x+)+b(或y=Acos(x+)+b),0的形式;关键二,把x+(0)看作一个整体代入y=sin x或y=cos x的单调区间或对称轴方程;关键三,最小正周期为2.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是12个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是12个周期.小题1三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1 (1)在平面直角坐标系中,若角的终边经过点Psin53,cos53,则sin(+)= ()A.-12B.-32C.12D.32 (2)若(0,),sin(-)+cos =23,则sin -cos 的值为()A.23B.-23C.43D.-43听课笔记 【考场点拨】应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由sin2=12求sin 的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.【自我检测】1.若cos+6=45,则sin-3=()A.45B.35C.-35D.-452.已知角的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则sin+2cossin-cos=.3.已知是第三象限角,且sin-4=35,则tan+4=.小题2三角函数的图像及应用2 (1)设0,若将函数y=2cosx+5的图像向右平移5个单位长度后与函数y=2sinx+5的图像重合,则的最小值是 ()A.12B.32C.52D.72(2)函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,00,|2,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为,若f(x)2对任意x24,3恒成立,则的取值范围是 ()A.6,2B.6,3C.12,3D.12,64.已知函数f(x)=Acos(x+)的部分图像如图M2-7-3所示,f2=-23,则f(0)=.图M2-7-3小题3三角函数的性质及应用3 (1)已知函数f(x)=2sin(x+)(0,00,|0)的形式,再对比y=sin x的性质,即把x+看成一个整体处理,但是一定要注意0,否则易出错;其次一定要结合图像进行分析.【自我检测】1.若已知函数f(x)=sinx+3(0)的最小正周期为,则该函数的图像()A.关于点12,0对称B.关于点6,0对称C.关于直线x=12对称D.关于直线x=3对称2.若函数f(x)=sin x-cos x(0)在-2,2上单调递增,则的取值不可能为()A.14B.15C.12D.343.设函数f(x)=cos(3x+),其中常数满足-0, 0)的图像上相邻两个最高点的距离为6,P32,-2是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是 ()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)小题4三角函数的值域与最值问题4 (1)已知将函数f(x)=2sinx-6cos x+12的图像向左平移512个单位长度后得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在-3,3上的值域为 ()A.-12,1B.-1,12C.-32,1D.-12,32(2)函数f(x)=2sin2x+4 +2sin4-xcos4-x在区间2,34上的最小值为. 听课笔记 【考场点拨】有关三角函数的值域与最值问题的解题策略:(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为y=Asin(x+)+k的形式,再借助三角函数的图像与性质确定值域与最值;(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可先设t=sin xcos x,再转化为关于t的二次函数去求解.【自我检测】1.函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 ()A.12B.1C.32D.22.将函数f(x)=3sin xcos x+cos2x-12的图像向左平移512个单位长度得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在-12,3上的值域为 ()A.-12,1B.-1,12C.-32,12D.-12,323.已知函数f(x)=sin x+3cos x(0)在区间0,6上的最小值为-1,则=.4.已知函数y=cos2x+32sin 2x-12,x0,2,则该函数的值域为.第7讲三角函数的图像与性质 典型真题研析1.(1)1212(2)23解析 (1)曲线C1,即y=sinx+2,把其上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线y=sin2x+2,再把该曲线向左平移12个单位长度,得到y=sin2x+12+2=sin2x+23的图像.(2)函数y=sin x-3cos x=2sinx-3的图像可由函数y=sin x+3cos x=2sinx+3的图像至少向右平移23个单位长度得到.2.(1)1(2)1解析 (1)f(x)=-cos2x+3cos x+14=-cosx-322+11,当且仅当cos x=32,即x=6时,等号成立,所以最大值为1.(2)函数f(x)=sin(x+2)-2sin cos(x+)=sin(x+)+-2sin cos(x+)=sin(x+)cos -cos(x+)sin =sin x,故其最大值为1.3.(1)A(2)D解析 (1)f(x)=cos x-sin x=2cosxcos4-sinxsin4=2cosx+4,由2kx+4+2k(kZ),得函数f(x)的单调递减区间为2k-4,34+2k(kZ).函数f(x)在-a,a上单调递减,得a的最大值是4.(2)由图知T2=54-14=1,所以T=2,即2=2,所以=.因为函数f(x)的图像过点14,0,所以当=时,4+=2+