经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金，不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。3.1.3空间向量的数量积运算1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点)基础初探教材整理1空间向量的夹角阅读教材P90第13自然段内容，完成下列问题.1.夹角的定义图3114已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b.2.夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，.特别地，当0时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量_，记作_.【答案】垂直ab判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)a，b与(a，b)都表示直角坐标系下的点.()(2)在ABC中，B.()(3)在正方体ABCDABCD中，与的夹角为45.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2空间向量的数量积及其性质阅读教材P90第4自然段“思考”以上部分内容，完成下列问题.1.已知两个非零向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作_.规定：零向量与任何向量的数量积为_，即0a_.【答案】|a|b|cosa，bab002.空间向量数量积满足下列运算律：(1)(a)b(ab)；(2)交换律：abba；(3)分配律：a(bc)_.【答案】abac3.空间向量数量积的性质：两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地：aa|a|2或|a|.若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|下列式子中正确的是()A.|a|aa2B.(ab)2a2b2C.a(ab)ba2D.|ab|a|b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确.故选D.【答案】D小组合作型空间向量数量积的运算如图3115所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：图3115(1)；(2)；(3).【精彩点拨】第(1)、(2)两问利用进行转化求解；第(3)问利用进行转化求解.【自主解答】(1)|cos，cos 60.(2)|2.(3)()|cos，|cos，cos 60cos 600.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式ab|a|b|cosa，b求解.再练一题1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则_.【解析】a2cos 60a2.【答案】a2利用数量积证明空间的垂直关系已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.【精彩点拨】(1)你能用，分别表示向量与吗？(2)如何用向量证明？【自主解答】连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|.又()(abc)，cb.(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.，即OGBC.用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题.(2)用已知向量表示所证向量.,(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题.再练一题2.如图3116，已知正方体ABCDABCD，CD与DC相交于点O，连接AO，求证：图3116(1)AOCD； (2)AC平面BCD.【证明】(1)因为()，因为，所以(2)()(22)(|2|2)0，所以，故AOCD.(2)因为()()，可知0，0，0，|2，|2，0，所以|2|20，所以，所以ACBC.同理可证，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.利用数量积求夹角如图3117，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求1与夹角的大小.图3117【精彩点拨】(1)怎样用向量，1表示向量1与？(2)求两向量的夹角公式是怎样的？【自主解答】不妨设正方体的棱长为1，1(1)()(1)()211020021，又|1|，|，cos ，.01，180，1，60.1与夹角的大小为60 .1.由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系.当a，b 时，它们相等；而当a，b 时，它们互补.2.利用数量积求异面直线所成角的余弦值的步骤：(1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos a，b；(3)定结果cos |cosa，b|.再练一题3.如图3118，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点.图3118(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.【解】(1)证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0.bc，cba.c2b20，即CEAD.(2)ac，|a|，|a|，(ac)c2|a|2，cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.探究共研型利用数量积求距离探究1已知A(1,2,1)，B(2,0,2)，求|的值.【提示】(1，2,1)，|.探究2求两点间距离或线的长度的方法.【提示】利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|2aa求解即可.平行四边形ABCD中，AB2AC2且ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求点B，D间的距离.图3119【精彩点拨】(1)由已知可以得出AC与CD，AC与AB垂直吗？(2)根据AB与CD成60角可建立什么方程？能直接求出|吗？【自主解答】由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为60，于是，0，0，且，60或120.|2()2222222221222222cos，故|213或5，解得|或，即B，D间的距离为或.1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算.2.用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式aa|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离.再练一题4.如图3120所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离. 图3120【解】()()()，所以2222222.|，即E，F间的距离为.1.已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A.6B.6C.3D.3【解析】由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，(2e13e2)(ke14e2)0，2k120，k6.【答案】B2.在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A. B. C.D.0【解析】()|cosAOC|cosAOB|O|0，cos，0.【答案】D3.在空间四边形ABCD中，_.【解析】原式()()()0.【答案】04.如图3121，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c. 图3121(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长.【解】(1)(ca)a(ba)abc.(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115，|abc|，|abc|，即MN.经自查我局不存在违规接待、超标准接待和用公款购买赠送礼品、有价证券等问题;不存在借各种名义变相安排公务接待，或内部接待公私不分，违规公款吃喝、公款消费、