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第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材,并识记椭圆的定义和标准方程,会求椭圆的标准方程,【知识链接】 1.圆的定义及方程:平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆,方程有标准式和一般式 2.待定系数法求曲线方程:已知曲线类型时,先设出曲线方程,再利用条件确定方程的系数,从而得到曲线方程,如已知圆上三点,求圆的方程,主题一:椭圆的定义 【自主认知】 1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形? 提示:得到一个椭圆.,2.如果调整细绳两端点F1,F2的相对位置,细绳的长度不变,猜想椭圆会发生怎样的变化? 提示:当细绳两端点逐步靠近时,所画的椭圆越接近圆,当细绳两端点逐步远离时,所画的椭圆越扁平. 3.绳长能小于两图钉之间的距离吗? 提示:不能.否则无法画图.,根据以上探究过程,试着写出椭圆的定义: 平面内与_ _叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的_,两点间的距离叫做 椭圆的_.,两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的,轨迹,焦点,焦距,【合作探究】 1.当动点P与两定点F1,F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P的轨迹是什么? 提示:如图,当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P在线段F1F2上,所以点P的轨迹是线段F1F2.,2.判断一个点的轨迹是否是椭圆,应该满足什么条件? 提示:需满足两个条件:一是该点到两个定点的距离的和是常数,二是该常数要大于两定点间的距离.,【过关小练】 1.已知命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a,其中a为大于0的常数;命题乙:P点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,【解析】选B.若P点轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a0,为常数).所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a0,为常数),当2a|AB|时,P点轨迹是椭圆;当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a|AB|时,P点的轨迹不存在,所以甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件.,2.下列说法正确的是 ( ) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到F1,F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆 C.到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到F1(-4,0),F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆,【解析】选C.A中常数8=|F1F2|,B中常数6|F1F2|,符合椭圆定义,轨迹是椭圆;D 中点的轨迹应该是一条直线.,主题二:椭圆的标准方程 【自主认知】 1.根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单? 提示:在求椭圆的标准方程时,选择x轴经过两个定点F1,F2,并且使坐标原点为线段F1F2的中点,这样两个定点的坐标比较简单. 2.在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式? 提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方.,根据以上探究过程,试着写出椭圆的标准方程: 1.焦点在x轴上:_(ab0). 2.焦点在y轴上:_(ab0).,【合作探究】 1.在推导椭圆方程时,为何要设|F1F2|=2c,常数为2a?为何令a2-c2=b2? 提示:在求方程时,设椭圆的焦距为2c(c0),椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a0),这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式,以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆.,2.椭圆的标准方程中,参数a,b(ab0)与c满足的关系能否用图表 示?方程 与 有何不同?,提示:a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半,a,b,c的关系如图 当ab0时,方程 表示焦点在x轴上的椭圆,方程 表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就 大,【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( ) 【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6, 所以b2=a2-c2=36-16=20,所以其标准方程为,2.两个焦点坐标分别是(0,5),(0,5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26,求椭圆的标准方程. 【解析】因为焦点在y轴上, 所以设其标准方程为 因为2a26,2c10,所以a13,c5所以b2a2c2144 所以所求椭圆标准方程为,【归纳总结】 1.对椭圆定义的理解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点M有|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|;否则,若2a=|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若2a|F1F2|,则轨迹不存在.,2.对椭圆标准方程的两点说明 (1)标准的含义: 所谓“标准”,就是椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上. (2)用待定系数法求标准方程时的注意点: 应从“定位”与“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的类型;其次是“定量”,即利用条件确定方程中的a,b的值.,类型一:椭圆的定义 【典例1】(1)椭圆 上一点M到一个焦点的距离为4,则M到另一个焦点的距离为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.2 (2)已知定点A(0,-1),点B在圆F:x2+(y-1)2=16上运动,F为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P.则点P的轨迹是_.,【解题指南】(1)根据椭圆方程求出a,利用椭圆定义求点M到另一个焦点的距离. (2)利用线段的垂直平分线的性质,可以判断点P到点A和点F的距离的和为常数.,【解析】(1)选B.设椭圆 的左、右焦点分别为F1,F2,不妨令|MF1|=4, 由|MF1|+|MF2|=2a=10, 得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6. (2)由题意得|PA|=|PB|. 所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4|AF|=2, 所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆. 答案:以A,F为焦点的椭圆,【规律总结】椭圆定义的双向运用 (1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆. (2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a. 提醒:在判断点的轨迹时,易出现只注意到距离之和为常数,而忽视此常数要大于两定点距离的条件作出错误的判断.,【巩固训练】1.(2015衡阳高二检测)设定点F1(0,-3),F2(0,3), 动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a0),则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 【解析】选D.因为a0,所以a+ 6,又F1,F2间的距离为6,所以 当a+ 6时,点P的轨迹为椭圆,当a+ =6时,点P的轨迹是线段.,2.(2015德州高二检测)已知M为椭圆 上一点,F1为椭圆的 一个焦点且|MF1|2,N为MF1中点,O为坐标原点,ON长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为F2,由定义可知|MF2|2a|MF1| 1028,,【补偿训练】1.到两定点(2,1),(-2,-2)距离之和为5的点的轨迹是( ) A.线段 B.椭圆 C.直线 D.不存在 【解析】选A.两定点间的距离为 所以点的轨迹为线段.,2.已知椭圆 的两个焦点为F1,F2,且|F1F2|8,弦AB过点F1,则ABF2的周长为( ) A.10 B.20 C. D. 【解析】选D.由已知得a2b2c2251641, 所以a 而ABF2的周长为,类型二:定义法求椭圆的标准方程 【典例2】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. 【解题指南】根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,根据A,B点的坐标,可以判定点P的轨迹方程是以A,B为焦点的椭圆,这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2,b2的问题.,【解析】设圆P的半径为r, 又圆P过点B,所以|PB|=r, 又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10. 所以两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆. 所以2a=10,2c=|AB|=6, 所以a=5,c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=16. 即点P的轨迹方程为,【延伸探究】典例中条件改为已知圆A:(x+3)2+y2=100, 圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹方程.,【解析】设圆P的半径为r, 则 所以|PA|+|PB|=126=|AB|, 故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且 所以a=6,b2=27, 所以点P的轨迹方程是,【规律总结】定义法求椭圆的标准方程 (1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离. (2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.,【巩固训练】在ABC中,B(-3,0),C(3,0),若周长为16,求顶点A的轨迹方程. 【解题指南】由|AB|+|AC|=10可知顶点A的轨迹是椭圆,但要注意检验A,B,C能否构成三角形.,【解析】由|AB|+|AC|=10|BC|,可知点A轨迹为椭圆,其中2a=10,即a=5, 又B(-3,0),C(3,0),则c=3,所以b=4. 设A点坐标为(x,y),则y0, 所以, 即为A的轨迹方程.,【补偿训练】已知三角形ABC的一边BC长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程. 【解析】建立如图坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中点重合,,|BC|=6,|AB|+|AC|=16-6=10, 所以点A的轨迹是椭圆, 2a=16-6=10,2c=6,c=3,a=5, b2=a2-c2=52-32=16. 但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是:,类型三:待定系数法求椭圆的标准方程 【典例3】(1)(2015邵阳高二检测)过点(-3,2)且与 有相同焦点的椭圆的方程是( ) (2)求中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 和 两点的椭圆方程,【解题指南】(1)由已知椭圆方程求得焦点坐标得c,设出所求椭圆方程,把点(-3,2)代入求系数. (2)根据条件设出椭圆的标准方程,利用A,B两点求方程中的系数.,【解析】(1)选A.由方程 可知,其焦点的坐标为 设所求椭圆方程为 因为过点(-3,2),代入方程为 解得a2=15(a2=3舍去). 故方程为,(2)方法一:当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 依题意,有 解得 所以所求椭圆的方程为,当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为 依题意,有 解得 因为ab,不合题意, 所以所求椭圆的方程为,方法二:设所求椭圆方程为Ax2By21(A0,B0且AB), 依题意,得 解得 所以所求椭圆方程为,【规律总结】待定系数法求椭圆标准方程的方法 (1)
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