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经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金,不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。椭圆及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.7D.8【解析】选D.因为a=5,点P到一个焦点的距离为2,所以点P到另一个焦点的距离为25-2=8.2.(2015珠海高二检测)椭圆x212+y23=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的()A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍【解析】选A.不妨设F1(-3,0),F2(3,0),由条件知P3,32,即|PF2|=32,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=43,|PF1|=732,|PF2|=32,即|PF1|=7|PF2|.3.已知椭圆过点P35,-4和点Q-45,3,则此椭圆的标准方程是()A.y225+x2=1B.x225+y2=1或x2+y225=1C.x225+y2=1D.以上都不对【解析】选A.设椭圆方程为:Ax2+By2=1(A0,B0),由题意得925A+16B=1,1625A+9B=1,解得A=1,B=125.4.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+)B.(0,2)C.(1,+)D.(0,1)【解析】选D.先将方程x2+ky2=2变形为x22+y22k=1.要使方程表示焦点在y轴上的椭圆,需2k2,即0k0).且焦距为6,则实数m的值为_.【解析】若椭圆的焦点在x轴上,则a2=25,b2=m2,因为a2=b2+c2,即25=m2+9,所以m2=16,因为m0,所以m=4.若椭圆的焦点在y轴上,则a2=m2,b2=25,由a2=b2+c2,所以m2=25+9,所以m2=34,因为m0,所以m=34.综上可得m=4或m=34.答案:m=4或m=34【误区警示】忽视焦点位置,导致丢解椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.【补偿训练】椭圆x2m+y215=1的焦距等于2,则m的值是_.【解析】当焦点在x轴上时,m-15=1,m=16;当焦点在y轴上时,15-m=1,m=14.答案:16或147.(2015双鸭山高二检测)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b=_.【解析】因为PF1PF2,所以PF1PF2,因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=|F1F2|2,所以(2a)2-2|PF1|PF2|=(2c)2,因此|PF1|PF2|=2b2.由SPF1F2=12|PF1|PF2|=b2=9,所以b=3.答案:38.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB=_.【解题指南】利用正弦定理求解.【解析】由题意知,A,C为椭圆的两焦点,则|AC|=8,|AB|+|BC|=10.所以,sinA+sinCsinB=|BC|+|AB|AC|=108=54.答案:54三、解答题(每小题10分,共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8.(2)椭圆两焦点间的距离为16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.【解析】(1)若焦点在x轴上,可设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意知2a=8,所以a=4,又点P(3,2)在椭圆上,所以916+4b2=1,得b2=647.所以椭圆的标准方程为x216+y2647=1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为:y2a2+x2b2=1(ab0),因为2a=8,所以a=4.又点P(3,2)在椭圆上,所以416+9b2=1,得b2=12.所以椭圆的标准方程为y216+x212=1.由知椭圆的标准方程为x216+y2647=1或y216+x212=1.(2)由题意知,2c=16,2a=9+15=24,所以a=12,c=8,所以b2=80.又焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以所求方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1.10.已知圆B:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.【解题指南】利用椭圆定义先判断P的轨迹是椭圆.【解析】如图所示,连接AP,因为l垂直平分AC,所以|AP|=|CP|,所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4.所以P点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.因为2a=4,2c=|AB|=2,所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3.所以点P的轨迹方程为x24+y23=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015长春高二检测)在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90C3:x29+y25=1(y0)则满足条件的点A轨迹方程按顺序分别是()A.C3,C1,C2B.C2,C1,C3C.C1,C3,C2D.C3,C2,C1【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状.【解析】选A.当ABC的周长为常数时,顶点A到点B,C的距离之和为常数,所以轨迹为椭圆;当ABC的面积为常数时,顶点A到直线BC的距离为常数,所以轨迹为平行于BC的两条直线;当ABC中A=90时,轨迹是以线段BC为直径的圆,故选A.2.设0,2,方程x2sin+y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆,则的取值范围是()A.0,4B.0,4C.4,2D.4,2【解析】选C.由题意可知1sincos0,又因为0,2,解得4b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆E于A,B两点,满足|AF1|=2|F1B|,且|AB|=3,ABF2的周长为12.(1)求|AF2|.(2)若cosF1AF2=-14,求椭圆E的方程.【解析】(1)|AF1|=2|F1B|,|AB|=3,所以|AF1|=2,|F1B|=1.因为4a=12,所以a=3,所以|AF1|+|AF2|=6,所以|AF2|=4.(2)因为|AF1|=2,|AF2|=4,cosF1AF2=-14,所以|F1F2|=24=26,所以c=6,b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程为x29+y23=1.6.(2015南京高二检测)设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的两焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且BF1=CF1,求的值.【解析】(1)因为椭圆的方程为x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=3,即|F1F2|=23,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=422=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|PF
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