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经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金,不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。双曲线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若双曲线x28-y2m=1的渐近线方程为y=2x,则实数m等于()A.4B.8C.16D.32【解析】选D.由题意,得双曲线焦点在x轴上,且a2=8,b2=m,所以a=22,b=m.又渐近线方程为y=2x,所以m8=4.所以m=32.2.(2015全国卷)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.5B.2C.3D.2【解析】选D.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),如图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作MNx轴,垂足为N,在RtBMN中,|BN|=a,|MN|=3a,故点M的坐标为M(2a,3a),代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=2.【补偿训练】已知04,则双曲线C1:x2cos2-y2sin2=1与C2:y2sin2-x2sin2tan2=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析】选D.因为00)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则POF的大小不可能是()A.15B.25C.60D.165【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=33x,所以渐近线的倾斜角为30或150,所以POF不可能等于60.4.(2015银川高二检测)已知双曲线x22-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别是F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(3,y0)在双曲线上,则PF1PF2=()A.-12B.-2C.0D.4【解题指南】由渐近线方程求出b,得到双曲线方程,进而求出F1,F2及P的坐标即可.【解析】选C.由渐近线方程为y=x知,b2=1,所以b=2,因为点P(3,y0)在双曲线上,所以y0=1,y0=1时,P(3,1),F1(-2,0),F2(2,0),所以PF1PF2=0,y0=-1时,P(3,-1),PF1PF2=0.5.设P是双曲线x2a2-y29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=()A.1或5B.6C.7D.9【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,所以ba=32,因为b=3,所以a=2.又|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|3-|PF2|=4.所以|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015全国卷)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=12x,则该双曲线的标准方程为_.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=12x,可设双曲线的方程为x24-y2=m,把(4,3)代入x24-y2=m,得m=1.答案:x24-y2=17.(2015揭阳高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A,B为椭圆的顶点,当FBAB时,其离心率为5-12,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_.【解析】设中心在坐标原点的双曲线左焦点F,实轴右端点A,虚轴端点B,FBAB,则|AF|2=|AB|2+|BF|2,因为|AF|2=(a+c)2,|AB|2=a2+b2,|BF|2=b2+c2,所以c2-a2-ac=0,因为e=ca,所以e2-e-1=0,因为e1,所以e=5+12.答案:5+12【补偿训练】已知双曲线C:x24-y2m=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔,则实数m的取值范围是_.【解析】因为等轴双曲线的离心率为2,且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔,所以双曲线C:x24-y2m=1的离心率e2,即4+m42.所以m4.答案:(4,+)8.(2015孝感高二检测)双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1PF2,则点P到x轴的距离为_.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(mn),所以a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1PF2.所以PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.设点P到x轴的距离为d,SPF1F2=12d|F1F2|=12|PF1|PF2|,即12d2c=12mn.所以d=mn2c=3210=3.2,即点P到x轴的距离为3.2.答案:3.2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)已知双曲线的渐近线方程为y=34x,求双曲线的离心率.(2)双曲线的离心率为2,求双曲线的两条渐近线的夹角.(3)双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4,-1),圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y=34x,所以ba=34或ba=43.当ba=34时,e=54;当ba=43时,e=53.(2)因为e=ca=2,所以a2+b2a=2,即a=b,所以双曲线渐近线方程为y=x.所以双曲线两条渐近线的夹角为90.(3)因为点A与圆心O连线的斜率为-14,所以过A的切线的斜率为4.所以双曲线的渐近线方程为y=4x.设双曲线方程为x2-y216=.因为点A(4,-1)在双曲线上,所以16-116=,=25516.所以双曲线的标准方程为x225516-y2255=1.10.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=213,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为37.(1)求这两曲线方程.(2)若P为这两曲线的一个交点,求F1PF2的面积.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,双曲线方程为x2m2-y2n2=1(a,b,m,n0,且ab),则a-m=4713a=313m,解得:a=7,m=3,所以b=6,n=2,所以椭圆方程为x249+y236=1,双曲线方程为x29-y24=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,所以cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=45,所以sinF1PF2=35.所以SF1PF2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=1210435=12.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为()A.y24-x24=1B.x24-y24=1C.y24-x29=1D.x28-y24=1【解析】选A.2a+2b=22c,即a+b=2c,所以a2+2ab+b2=2(a2+b2),所以(a-b)2=0,即a=b.因为一个顶点坐标为(0,2),所以a2=b2=4,所以y2-x2=4,即y24-x24=1.【补偿训练】渐近线方程为3x4y=0,焦点为椭圆x210+y25=1的短轴端点的双曲线方程为_.【解析】双曲线的焦点为椭圆的短轴端点,即(0,5),(0,-5),所求双曲线方程可设为y29-x216=1(0),所以5=9+16,=15.故所求的双曲线方程为5y29-5x216=1.答案:5y29-5x216=12.已知实数4,m,9构成一个等比数列,m为等比中项,则圆锥曲线x2m+y2=1的离心率为()A.306B.7C.306或7D.56或7【解析】选C.因为4,m,9成等比数列,所以m2=36,所以m=6.当m=6时,圆锥曲线方程为x26+y2=1,其离心率为306;当m=-6时,圆锥曲线方程为y2-x26=1,其离心率为7.【补偿训练】两个正数a,b的等差中项是92,等比中项是25,且ab,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为_.【解析】因为两个正数a,b的等差中项是92,等比中项是25,且ab,所以a+b2=92,ab=25,ab,解得a=5,b=4,所以双曲线方程为x225-y216=1,所以c=25+16=41,所以双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=ca=415.答案:415二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015广州高二检测)若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3,则其渐近线的斜率为_.【解析】双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=1+b2a2=3,所以ba=2,其渐近线的方程为y=bax,其斜率为2.答案:24.(2015郑州高二检测)设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为_.【解题指南】利用双曲线方程和直线方程求出B点的坐标,可得三角形的高.【解析】双曲线x29-y216=1的右顶点为A(3,0),右焦点为F(5,0)(由于两渐近线关于x轴对称,因此设与任何一条渐近线平行的直线均可),一条渐近线为y=-43x,则BF所在直线为y=-43(x-5),由y=-43(x-5),x29-y216=1,得B175,3215,所以SAFB=12|AF|yB|=3215.答案:3215三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015青岛高二检测)已知F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,求C2的离心率.【解析】设双曲线C2的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),|AF1|=m,|AF2|=n,因为A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点,所以m+n=4,n-m=2a,所以m=2-a,n=2+a.因为四边形AF1BF2为矩形,所以AF1AF2.因为|F1F2|=23,所以m2+n2=12,即8+2a2=12,所以a=2,所以e=ca=32=62.6.(2015衡阳高二检测)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(22,0)作双曲线的一条渐近线的垂线,与该渐近线交于点P,且OFFP=-6,求
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