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课题:利用向量方法求二面角,四、教学过程的设计与实施,2、如何作二面角l的平面角?,从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 ,这条直线叫做 , 这两个半平面叫做 .,二面角,二面角的棱,二面角的面,1、二面角的定义:,与面,如图, 是直角梯形,,所成的二面角的余弦值。,求面,你能找到所求二面角的棱吗?,探究新知,问题: 二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系?,探究新知,探究新知,问题: 法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。 再次演示课件,探究新知,细心想一想, 你将有新发现!,尝试:已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90 解析 即m,n=45,其补角为135. 两平面所成二面角为45或135.,C,练一练,例1如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB4,AD3,AA12,E、F分别是线段AB、BC上的点,且EBFB1, (1)求二面角CDEC1的正切值; (2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值,结论:,利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量,如果图中的法向量没有直接给出,那么必须先创设法向量。,利用法向量求二面角的平面角的一般步骤:,建立坐标系,例2:如图,四棱锥PABCD中,PB底面ABCD,CDPD,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ABBC,ABADPB3.点E在棱PA上,且PE2EA.求二面角ABED的余弦值,练习:若PA平面ABC,ACBC,PAAC1,BC ,求二面角APBC的余弦值,小结:,1.利用法向量求二面角大小的优势:,避免了繁难的作、证二面角的过程,将几何问题转化为数值计算。,2.利用法向量求二面角大小的关键:,确定相关平面的法向量。,3.利用法向量求二面角大小的缺点:,计算量相对比较大。,当堂检测,与面,如图, 是直角梯形,,所成的锐二面角的余弦值。,求面,例题精讲,【审题指导】本题是求二面角的余弦值,可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线,不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决,利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性,解:,则,建立如图所示的空间直角坐标系,则,启示:,求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。,是平面SAB的法向量,,就是二面角的平面角,,所求锐二面角的余弦值为:,令z=1解之得,结论:,利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量,如果图中的法向量没有直接给出,那么必须先创设法向量。,利用法向量求二面角的平面角的一般步骤:,建立坐标系,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点Q是BC的中点,求锐二面角ADQA1的余弦值,巩固练习:,小结:,1.利用法向量求二面角大小的优势:,避免了繁难的作、证二面角的过程,将几何问题转化为数值计算。,2.利用法向量求二面角大小的关键:,确定相关平面的法向量。,3.利用法向量求二面角大小的缺点:,计算量相对比较大。,课后思考 (2009天津理,19) 如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD,ADBCFE,AB AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE= . (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小; (2)证明:平面AMD平面CDE; (3)求锐二面角ACDE的余弦值. (1)解 如图所示,建立空间直 角坐标系,点A为坐标原点,设 AB=1,依题意得B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.,(2)证明,又AMAD=A,故CE平面AMD.而CE平面 CDE,所以平面AMD平面CDE.,(3)解 设平面CDE的法向量为u=(x,y,z), 令x=1,可得u=(1,1,1). 又由题设,平面ACD的一个法向量v=(0,0,1). 因为二面角ACDE为锐角,所以其余弦值为,课后作业:第111页A组:6、8,谢谢,
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