第七单元圆第24讲圆的有关性质纲要求命题趋势1理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系2了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用题型以选择题、填空题为主.知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做_，定长叫做_；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径2圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的_叫做弦；(2)圆上任意两点间的_叫做圆弧，简称弧(3)_相等的两个圆是等圆(4)在同圆或等圆中，能够互相_的弧叫做等弧3圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性二、垂径定理及推论1垂径定理垂直于弦的直径_这条弦，并且_弦所对的两条弧2推论1(1)平分弦(_)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所对的_弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3推论2圆的两条平行弦所夹的弧_4(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项三、圆心角、弧、弦之间的关系1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦_2推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立四、圆心角与圆周角1定义顶点在_上的角叫做圆心角；顶点在_上，角的两边和圆都_的角叫做圆周角2性质(1)圆心角的度数等于它所对的_的度数(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对_的度数的一半(3)同弧或等弧所对的圆周角_，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧_(4)半圆(或直径)所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补自主测试1如图，O的弦AB垂直平分半径OC，若AB，则O的半径为()A B2C D2如图，O是ABC的外接圆，BAC60，若O的半径OC为2，则弦BC的长为()5如图，在平面直角坐标系中，A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交A于M，N两点，若点M的坐标是(4，2)，则弦MN的长为_(第5题图)考点一、垂径定理及推论【例1】在圆柱形油槽内装有一些油截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为()A6分米 B8分米C10分米 D12分米分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB6，CD8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AEAB3，CFCD4，设OEx，则OFx1，在RtOAE中，OA2AE2OE2，在RtOCF中，OC2CF2OF2，由OAOC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.解析：如图，依题意得AB6，CD8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AEAB3，CFCD4，设OEx，则OFx1，在RtOAE中，OA2AE2OE2，在RtOCF中，OC2CF2OF2，OAOC，32x242(x1)2，解得x4，半径OA5，直径MN2OA10(分米)故选C.答案：C方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的触类旁通1 如图所示，若O的半径为13 cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为_ cm.考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例2】如图，已知A，B，C，D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD，AD.(1)求证：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的长解：(1)证明：ABBC，.ADBBDC，DB平分ADC.(2)由(1)知，BAEADB.ABEABD，ABEDBA.BE3，ED6，BD9.AB2BEBD3927.AB3.方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用触类旁通2 如图，AB是O的直径，C，D两点在O上，若C40，则ABD的度数为()A40 B50C80 D90考点三、圆周角定理及推论【例3】如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD58，则BCD()A116 B32C58 D64解析：根据圆周角定理求得，AOD2ABD116(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，BOD2BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180知BOD180AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90，可得ADB90，则DAB90ABD32，DABDCB，DCB32.答案：B方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在O上，的度数等于84，CA是OCD的平分线，则ABDCAO_.ACMDM BCACDADC DOMMD3(2012浙江湖州)如图，ABC是O的内接三角形，AC是O的直径，C50，ABC的平分线BD交O于点D，则BAD的度数是()(第3题图)A45 B85 C90 D954(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_ mm.7(2012湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BACAPC60.(1)求证：ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.1如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么线段OE的长为()A5 B4C3 D22如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点，则OBC的余弦值为()A BC D3一条排水管的截面如图所示已知排水管的截面圆半径OB10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是()A16B10C8 D64如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE8个单位，OF6个单位，则圆的直径为()(第4题图)A12个单位 B10个单位C4个单位 D15个单位5已知如图，在圆内接四边形ABCD中，B30，则D_.(第5题图)6如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果A63，那么DBE_.(第6题图)7如图，ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC5，DC3，AB4，则O的直径等于_(第7题图)8如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BCAF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：(1)ABD为等腰三角形；(2)ACAFDFFE.参考答案导学必备知识自主测试1A2D36049053如图，过点A作ABMN，连接AM，设MB为x，则AMAO4x.在RtAMB中，AM2MB2AB2，(4x)2x222，解得x.MN2MB3.探究考点方法触类旁通124连接OA，当OPAB时，OP最短，此时OP5 cm，且AB2AP.在RtAOP中，AP12，所以AB24 cm.触类旁通2B由题意，得AC40，由直径所对的圆周角是直角，得ADB90，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得AABD90，从而得ABD50.触类旁通348因为的度数等于84，所以COD84.因为OCOD，所以OCD48.因为CA是OCD的平分线，所以ACDACO24，因为OAOC，所以OACACO24，因为ABDACD24，所以ABDCAO48.品鉴经典考题1AOAOB，AOB90，ACB45.故选A.2DAB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，M为CD的中点，即CMDM，选项A成立；B为的中点，即CBDB，选项B成立；在ACM和ADM中，AMAM，AMCAMD90，CMDM，ACMADM(SAS)，ACDADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立故选D.3BAC是O的直径，ABC90.ABC的平分线BD交O于点D，ABD45.C50，D50，BAD的度数是180455085.48如图所示，在O中，连接OA，过点O作ODAB于点D，则AB2AD.钢珠的直径是10 mm，钢珠的半径是5 mm.钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，OD3 mm.在RtAOD中，AD4(mm)AB2AD248(mm)故答案为8.52AB是O的弦，OCAB于C，AB2，BCAB.OC1，