2.2排序不等式1.了解排序不等式的“探究猜想证明应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，称a1b1a2b2anbn为两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bna2bn1anb1为两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a1c1a2c2ancn为两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).不等式a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn称为排序原理，又称为排序不等式.等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn，排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和.基础自测1.已知a，b，cR*，则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是()A.a3b3c3a2bb2cc2aB.a3b3c3a2bb2cc2aC.a3b3c30，a2b2c2，故顺序和为a3b3c3，则a2bb2cc2a为乱序和，由排序不等式定理知a3b3c3a2bb2cc2a，故选B.答案B2.已知a，b，cR*，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A.大于零 B.大于等于零C.小于零 D.小于等于零解析不妨设abc，a2b2c2，abacbc，a2bcb2acc2ab，由排序不等式定理，a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案B3.设a1，a2，a3，an为正数，那么Pa1a2an与Q的大小关系是_.解析假设a1a2a3an，则，并且aaaa，Pa1a2a3an，是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理PQ.答案PQ知识点1利用排序原理证明不等式【例1】 已知a，b，c为正数，求证：abc.证明根据所需证明的不等式中a，b，c的“地位”的对称性，不妨设abc，则，bccaab.由排序原理：顺序和乱序和，得：.即abc，因为a，b，c为正数，所以abc0，abc0，于是abc.1.已知a1a2an，b1b2bn，求证：(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn).证明令Sa1b1a2b2anbn，则Sa1b2a2b3anb1，Sa1b3a2b4anb2，Sa1bna2b1anbn1将上面n个式子相加，并按列求和可得nSa1(b1b2bn)a2(b1b2bn)an(b1b2bn)(a1a2an)(b1b2bn)S(a1a2an)(b1b2bn)即(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn).【例2】 设a1，a2，an是n个互不相同的正整数，求证：1a1.证明122232.设c1，c2，cn是a1，a2，an由小到大的一个排列，即c1c2c3cn，根据排序原理中，反序和乱序和，得c1a1，而c1，c2，cn分别大于或等于1，2，n，c111，1a1.2.设c1，c2，cn为正数组a1，a2，an的某一排列，求证：n.证明不妨设0a1a2an，则.因为，是，的一个排序，故由排序原理：反序和乱序和得a1a2ana1a2an.即n.知识点2利用排序原理求最值【例3】 设a，b，c为任意正数，求的最小值.解不妨设abc，则abacbc，由排序不等式得，上述两式相加得：23即.当且仅当abc时，取最小值.3.设00，则有由切比晓夫不等式，得：，即，.2.已知a，b，c为正数，abc.求证：.证明abc0，a3b3c3，a3b3a3c3b3c3，又a5b5c5，由排序原理得：(顺序和乱序和)，即，又a2b2c2，由乱序和反序和得：.基础达标1.已知a，b，cR则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是() A.a3b3c3a2bb2cc2aB.a3b3c3a2bb2cc2aC.a3b3c3a2bb2cc2aD.a3b3c3a2bb2cc2a解析根据排序原理，取两组数a，b，c；a2，b2，c2，不妨设abc，所以a2b2c2.所以a2ab2bc2ca2bb2cc2a.答案B2.设a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，则a1ba2banb的最小值是()A.1 B.nC.n2 D.无法确定解析设a1a2an0.可知aaa，由排序原理，得a1ba2banba1aa2aanan.答案B3.已知a，b，cR，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A.大于零 B.大于等于零C.小于零 D.小于等于零解析设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab0所以a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案B4.已知a，b，c都是正数，则_.解析设abc0，所以.由排序原理，知，得.答案5.证明切比晓夫不等式中的(2).即，若a1a2an，而b1b2bn或a1a2an而b1b2bn，则.当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立.证明不妨设a1a2an，b1b2bn.则由排序原理得：a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1a1b1a2b2anbna1b3a2b4an1b1anb2a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将上述n个式子相加，得：n(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)上式两边除以n2，得：.等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立.6.设a1，a2，an为实数，证明： .证明不妨设a1a2an，由切比晓夫不等式得：，即， .综合提高7.设a1，a2，an为正数，求证：a1a2an.证明不妨设a1a2an0，则有aaa也有BC，则有abc由排序原理：顺序和乱序和aAbBcCaBbCcAaAbBcCaCbAcBaAbBcCaAbBcC上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).方法二：不妨设ABC，则有abc，由切比晓夫不等式，即aAbBcC(abc)，.9.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明不妨设abc0，a2b2c2，由排序原理：顺序和反序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2bc3a3a2cc2a三式相加得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.当且仅当abc时，等号成立.10.设a，b，c是正实数，求证：aabbcc(abc).证明不妨设abc0，则lg alg blg c.据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc).11.设xi，yi (i1，2，n)是实数，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一个排列.求证： (xiyi)2 (xizi)2.证明要证 (xiyi)2 (xizi)2只需证y2xiyiz2xizi.因为yz，只需证xizixiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立.