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一题多解 归一应用题例 1 一个打字员 15 分钟打了 1800 个字,照这样的速度,1 小时能打多少个字?【分析 1】先求 1 分钟能打多少个字,再求 1 小时能打多少个字。【解法 1】1 分钟能打多少个字?180015=120(个)1 小时能打多少个字?12060=7200 (个)综合算式:18001560=12060=7200(个)。【分析 2】先求出 1 小时是 15 分钟的几倍,再用 1800 乘以所得的倍数,所得的积就是 1小时能打字的个数。【解法 2】1 小时是 15 分钟的几倍?6015=4(倍)1 小时能打字多少个?18004=7 200(个)综合算式: 1800(6015)=18004=7200(个)。【分析 3】先求出 15 分钟是 1 小时的几分之几,根据分数除法的意义,用 1800 除以所得的几分之几,即得 1 小时能打字多少个。【解法 3】15 分钟是 1 小时的几分之几?1560=1 小时能打字多少个?1800 =7200(个)综合算式:1800 =1800 =7200(个)。【分析 4】先求出打一个字需要多少分钟,再看 1 小时里包含多少个“这些分钟”,就是1 小时能打字多少个。【解法 4】打一个字需要多少分钟?151800= (分钟)1 小时能打多少个字?60 =60120=7 200(个)综合算式: 60(151800)=60 =7 200(个)。【分析 5】因为“工作总量工作时间=工作效率”,而工作效率一定,所以工作总量与工作时间成正比例。【解法 5】设 1 小时能打字 x 个。x60=1 80015x=x=7200答:1 小时能打字 7 200 个。【评注】本题是正归一应用题。解法 1 是正归一应用题的一般解法,即先求出“单一量”,再用单一量乘以“总份数”就等于“总数量”。解法 2 和解法 3 思路简明,易于理解,计算简便,是本题的最佳解法。解法 4 将题中的“总数量”、“单一量”、“总份数”进行了转换,运用反归一应用题的解法解题。可见正、反归一应用题的解法可相互转换。例 2 一艘轮船 4 小时航行 108 千米,照这样的速度,继续航行 270 千米,共需多少小时?【分析 1】先求每小时航行多少千米,再求航行 270 千米需要几小时,最后求出共需多少小时。【解法 1】每小时航行多少千米?1084=27(千米)270 千米需航行多少小时?27027=10(小时)共需多少小时?10+4=14(小时)综合算式: 270(1084)+4=27027+4=10+4=14(小时)。【分析 2】先求出共航行了多少千米,再求每小时航行多少千米,最后求出共需多少小时。【解法 2】这艘轮船共航行了多少千米?270+108=378(千米)每小时航行多少千米?1084=27(千米)共需多少小时?37827=14(小时)综合算式: (270+108)(1084)=37827=14(小时)。【分析 3】先求出继续航行的路程和原来航行的路程的比,再运用归一应用题的解法求出共需多少小时。【解法 3】继续航行和原来航行的路程比?270108=52共需多少小时?42(5+2)=427=14(小时)。【分析 4】先求出原来航行的路程是共航行路程的几分之几,再运用分数除法应用题的解答方法求出共需多少小时。【解法 4】原来航行的路程是共航行的几分之几?108(108+270)=共需多少小时?4 =14(小时)综合算式:4 =4 =14(小时)。或: 4(108+270)108=4378108=43.5=14(小时)。【分析 5】因为“路程时间=速度”,速度一定,所以路程和时间成正比例。【解法 5】设共需 x 小时。(270+108)x=1084x=x=14或设航行 270 千米需 x 小时,则共需(x+4)小时。270x=1084x=x=1010+4=14(小时)。答:共需 14 小时。【评注】解法 1 和解法 2 是归一应用题的基本解法,解法 4 是本题的最佳解法。其他解法,读者可根据实际情况灵活选用。例 3 某粮食加工厂,3 台磨面机 4 小时可磨面粉 16.8 吨,按这样的速度,9 台磨面机要磨面粉 50.4 吨,需要多少小时?【分析 1】先求每台每小时磨面粉多少吨,再求 9 台每小时磨面粉多少吨,最后求出要磨50.4 吨面粉需要多少小时。【解法 1】每台每小时磨面粉多少吨?16.834=1.4(吨)9 台每小时磨面粉多少吨?1.49=12.6(吨)要磨面粉 50.4 吨需几小时?50.412.6=4(小时)综合算式: 50.4(16.8349)=50.4(1.49)=50.412.6=4(小时)。【分析 2】题中要用 9 台磨面机磨面粉 50.4 吨,可先求平均每台要磨面粉多少吨,再除以原来每台每小时磨粉吨数,即得共需小时数。【解法 2】平均每台要磨面粉多少吨?50.49=5.6(吨)原来每台每小时磨面粉多少吨?16.834=1.4(吨)共需多少小时?5.61.4=4(小时)综合算式: 50.49(16.834)=50.491.4=4(小时)。【分析 3】根据“每台每小时磨面粉吨数一定”列方程解。【解法 3】设需要 x 小时。50.49x=16.8345.6x=1.4x=5.61.4 x=4【分析 4】因为每台磨面粉吨数磨粉时间=每台每小时磨面粉吨数,每台每小时磨面粉吨数一定,所以每台磨面粉吨数和磨粉时间成正比例。【解法 4】设需要 x 小时。5.6x=5.64x=4【分析 5】因为现在磨粉吨数 50.4 吨是原来磨粉吨数 16.8 吨的 3 倍,所以:如果现在的台数和原来相同,那么现在的磨粉时间必是原来的 3 倍;如果现在的磨粉时间和原来相同,那么现在的台数必是原来的 3 倍(本题恰是这种情况,可以直接判断需要 4 小时);如果现在的台数和磨粉时间都与原来不同,那么现在的磨粉时间与台数的积(假设一台工作的总时间),一定等于原来的磨粉时间与台数积的 3 倍。【解法 5】设需要 x 小时。(x9)(43)=50.416.89x12=39x=36x=4答:需要 4 小时。【评注】解法 1 和解法 2 是基本解法,易于理解和掌握。解法 3 和解法 4 是方程解法,其中解法 3 较好。解法 5 是直觉思维解法。在分析 5 中谈到了三种情况,解法 5 是根据第三种情况列方程的,这种情况最一般。例 4 胜利机床广计划生产 120 台机床,实际 4 天就生产了 32 台,照这样计算,剩下的还要生产多少天才能完成?(天津市河西区)【分析 1】先求还剩下多少台,再求每天生产多少台,最后求出剩下的还要生产几天。【解法 1】还剩下多少台?120-32=88(台)每天生产多少台?324=8(台)剩下的还要多少天完成?888=11(天)综合算式: (120-32)(324)=888=11(天)。【分析 2】先求每天生产多少台,再求生产 120 台机床共要多少天,然后减去原来的 4 天就等于剩下的还要多少天。【解法 2】每天生产多少台?324=8(台)生产 120 台机床共要多少天?1208=15(天)剩下的还要多少天?15-4=11(天)综合算式: 120(324)-4=1208-4=15-4=11(天)。【分析 3】因为“工作量工作时间=工作效率”,工作效率一定,所以工作量和工作时间成正比例。【解法 3】设剩下的还要生产 x 天。(120-32)x=32488x=324x=x=11或设共要 x 天,则剩下的天数为 x-4。120x=324x=x=1515-4=11答:剩下的还要生产 11 天才能完成。【评注】以上三种解法,均属一般解法,易于理解,计算也较简便,是本题较好的解法。本题还可运用有关分数或比的知识解答。例 5 一列火车从甲地开往乙地,开出 2.5 小时,行了 150 千米。照这样的速度,再行驶 3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米?【分析 1】先求火车每小时行多少千米,再求共行了几小时,最后求出共行了多少千米(即甲、乙两地距离)。【解法 1】火车每小时行多少千米?1502.5=60(千米)火车共行了多少小时?2.5+3=5.5(小时)甲乙两地相距多少千米?605.5=330(千米)综合算式: 1502.5(2.5+3)=1502.55.5=605.5=330(千米)。【分析 2】先求每小时行多少千米,再求 3 小时行了多少千米,最后加上先行的 150 千米即得甲乙两地相距多少千米。【解法 2】火车每小时行多少千米?1502.5=60(千米)3 小时行了多少千米?603=180(千米)甲、乙两地相距多少千米?180+150=330(千米)综合算式: 1502.53+150=603+150=180+150=330(千米)。【分析 3】因为“距离时间=速度”,速度一定,所以距离和时间成正比例。【解法 3】设甲乙两地相距 x 千米。x(2.5+3)=1502.5x=x=330本题也可设 3 小时行 x 千米,再求两地距离。【分析 4】分数应用题解法。先求出 2.5 小时占共行时间(2.5+3)的几分之几,再用 150千米除以这个分数,即得甲乙两地相距多少千米。【解法 4】2.5 小时占总时间的几分之几?2.5(2.5+3)=甲乙两地相距多少千米?150 =330(千米)综合算式:150 =150 =330(千米)。答:甲乙两地相距 330 千米。【评注】以上四种解法中,解法 2 易于理解,也容易想到,计算也较简便;解法 4 是分数应用题的解法,思路简捷、巧妙,这两种解法是本题的较好解法。归一应用题的解法是比较多的,解题思路广而宽,综合运用知识的机会也较多,读者可结合题目的实际情况,灵活选择解题方法。本题还可运用比的知识及倍比法来解答。
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