亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选 1120_解析版【11. 2012 成都】20 (本小题满分 10分)如图，ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF 的顶点 E与ABC 的斜边 BC的中点重合将DEF 绕点 E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段AB相交于点 P，线段 EF与射线 CA相交于点 Q（1）如图，当点 Q在线段 AC上，且 AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q在线段 CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=a ，CQ= 9a时，P、Q 两点间的距离 (用含 a的代数式表示)考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。解答：（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC的中点，BE=CE，在BPE 和CQE 中， ，BPECQE（SAS） ；（2）解：ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ， ，BP=a，CQ= a，BE=CE，亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccBE=CE= a，BC=3 a，AB=AC=BCsin45=3a，AQ=CQAC= a，PA=ABBP=2a，连接 PQ，在 RtAPQ 中，PQ= = a【12. 2012 成都】25如图，长方形纸片 ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段 AD上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图，沿三角形 EBC的中位线 GH将纸片剪成两部分，并在线段 GH上任意取一点 M，线段 BC上任意取一点 N，沿 MN将梯形纸片 GBCH剪成两部分；第三步：如图，将 MN左侧纸片绕 G点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB与 GE重合，将 MN右侧纸片绕 H点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC与 HE重合，拼成一个与三角形纸片 EBC面积相等的四边形纸片(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为_cm，最大值为_cm考点：图形的剪拼；三角形中位线定理；矩形的性质；旋转的性质。解答：解：画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2的示意图，如答图 1所示亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc图中，N 1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理） ，又M 1M2N 1N2，四边形 M1N1N2M2是一个平行四边形，其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+2MNBC=6 为定值，四边形的周长取决于 MN的大小如答图 2所示，是剪拼之前的完整示意图过 G、H 点作 BC边的平行线，分别交 AB、CD 于 P点、Q 点，则四边形 PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形 ABCD的一半M 是线段 PQ上的任意一点，N 是线段 BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到 MN的最小值为 PQ与 BC平行线之间的距离，即 MN最小值为 4；而 MN的最大值等于矩形对角线的长度，即 = =四边形 M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，四边形 M1N1N2M2周长的最小值为 12+24=20，最大值为 12+2 =12+ 故答案为：20，12+ 【13. 2012 安徽】22. 如图 1，在ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB上，BDG 与四边形ACDG的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段 BG的长；（2）求证：DG 平分EDF;（3）连接 CG，如图 2，若BDG 与DFG 相似，求证：BGCG.22.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC 的边长，由三角形中位线性质知 ，根据BDG 与四边形 ACDG周长相等，cDEbF21,可得 .（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利cbBG用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.A BCDEFG亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc解（1）D、C、F 分别是ABC 三边中点DE AB,DF AC，21又BDG 与四边形 ACDG周长相等即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG= =2ACBcb（2）证明：BG= ，FG=BGBF= 2cbFG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG 平分EDF（3）在DFG 中，FDG=FGD, DFG 是等腰三角形,BDG 与DFG 相似,BDG 是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则 CD= BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,BGCG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.【14. 2012乐山】25如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时 BD=CF，BDCF 成立（1）当正方形 ADEF绕点 A逆时针旋转 （090）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形 ADEF绕点 A逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD交 CF于点 G求证：BDCF；当 AB=4，AD= 时，求线段 BG的长考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质。亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc专题： 几何综合题。分析： （1）ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF是正方形，易证得BADCAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得 BD=CF；（2）由BADCAF，可得ABM=GCM，又由对顶角相等，易证得BMACMG，根据相似三角形的对应角相等，可得 BGC=BAC=90，即可证得 BDCF；首先过点 F作 FNAC 于点 N，利用勾股定理即可求得 AE，BC 的长，继而求得AN，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得 AM= AB= ，然后利用BMACMG，求得 CG的长，再由勾股定理即可求得线段 BG的长解答： 解（1）BD=CF 成立理由：ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF，在BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS） BD=CF（3 分）（2）证明：设 BG交 AC于点 MBADCAF（已证） ，ABM=GCMBMA=CMG，BMACMGBGC=BAC=90BDCF（6 分）过点 F作 FNAC 于点 N在正方形 ADEF中，AD=DE= ，AE= =2，AN=FN= AE=1在等腰直角ABC 中，AB=4，CN=ACAN=3，BC= =4 在 RtFCN 中，tanFCN= = 在 RtABM 中，tanABM= =tanFCN= 亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccAM= AB= CM=ACAM=4 = ，BM= = （9 分）BMACMG， CG= （11 分）在 RtBGC 中，BG= = （12 分）点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法【15. 2012衢州】23课本中，把长与宽之比为 的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸 ABCD（ABBC）对开，如图 1所示，所得的矩形纸片 ABEF是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD（ABBC）进行如下操作：亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.cc第一步：沿过 A点的直线折叠，使 B点落在 AD边上点 F处，折痕为 AE（如图 2甲） ；第二步：沿过 D点的直线折叠，使 C点落在 AD边上点 N处，折痕为 DG（如图 2乙） ，此时E点恰好落在 AE边上的点 M处；第三步：沿直线 DM折叠（如图 2丙） ，此时点 G恰好与 N点重合请你探究：矩形纸片 ABCD是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图 3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC= ，问第 5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第 2012次对开后所得标准纸的周长考点： 翻折变换（折叠问题） ；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼。专题： 几何综合题。分析： （1）根据 = =2 = = ，得出矩形纸片 ABEF也是标准纸；（2）利用已知得出ADG 是等腰直角三角形，得出 = = ，即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可解答： 解：（1）是标准纸，理由如下：矩形 ABCD是标准纸， = ，由对开的含义知：AF= BC， = =2 = = ，矩形纸片 ABEF也是标准纸（2）是标准纸，理由如下：设 AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，DGEM，由图形折叠可知：ABEAFE，DAE= BAD=45，亿库教育网 http:/www.eku.cc亿库教育网 http:/www.eku.ccADG 是等腰直角三角形，在 RtADG 中，AD= = a， = = ，矩形纸片 ABCD是一张标准纸；（3）对开次数：第一次，周长为：2（1+ ）=2+ ，第二次，周长为：2（ + ）=1+ ，第三次，周长为：2（ + ）=1+ ，第四次，周长为：2（ + ）= ，第五次，周长为：2（ + ）= ，第六次，周长为：2（ + ）= ，第 5次对开后所得标准纸的周长是： ，第 2012次对开后所得标准纸的周长为： 点评： 此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键【16. 2012 绍兴】22联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P为ABC 的准外心。应用：如图 2，C