2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.自学导引1.设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|，其中等号成立(当bj0时，认为aj0，j1，2，n).2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.基础自测1.设x，y，z满足x22y23z23，则x2y3z的最大值是()A.3 B.4C. D.6解析x2y3zx(y)(z)3，选A.答案A2.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1 B.nC.n2 D.解析(a1a2an)()2()2()2n2，选C.答案C3.已知x、y、zR*且xyz，则x2y2z2的最小值是_.解析x2y2z2.答案知识点1利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a，b，c为正数且互不相等，求证：.证明2(abc)(ab)(bc)(ca)()2()2()2( )2( )2( )2(111)29.a，b，c互不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立.反思感悟：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数.求证：.证明由柯西不等式得：(b1b2b3)(a1a2a3)2.知识点2利用柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a，b，cR且abc1，求的最大值.解111(4a14b14c1)(121212).当且仅当时取等号.即abc时，所求的最大值为.反思感悟：利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.若a，bR且ab1，则的最小值为_.解析(1212)a，bR，1ab2，即ab，4.25.225即.答案知识点3利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程.解由柯西不等式，得(x2y2z2)(8)262(24)2(8x6y24y)2(x2y2z2)(8)262(24)2(6436576)392又(8x6y24y)2392(x2y2z2)(8)262(24)2(8x6y24z)2，即不等式中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得，它与8x6y24y39联立，可得x，y，z.反思感悟：利用柯西不等式解方程.关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：2.解21.又由已知2.所以等号成立，由等号成立的条件1得：24x8x6，x，即方程的解为x.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.已知x，y，zR且xyz1，则x2y2z2的最小值是() A.1 B.C. D.2解析x2y2z2，故应选B.答案B2.ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明由三角形中的正弦定理得sin A，所以，同理，于是左边(a2b2c2)36R2.故原不等式获证.3.已知a1，a2，an都是实数，求证：(a1a2an)2aaa.证明(121212)(aaa)(1a11a21an)2.n(aaa)(a1a2an)2(a1a2an)2aaa.基础达标1.设a，b，cR，且abc3，则的最小值为()A.9B.3C.D.1解析()2()2()2即(abc)32.又abc3，3，最小值为3.答案B2.已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A.1 B.nC. D.2解析由柯西不等式(aaa)(xxx)(a1x1a2x2anxn)2得11(a1x1a2x2anxn)2，a1x1a2x2anxn1.所求的最大值为1.答案A3.已知a，b，c为正数，则有()A.最大值9 B.最小值9C.最大值3 D.最小值3解析( )2( )2( )2()2( )2( )2( )29.答案B4.设a，bR，则与的大小关系是_.解析(11).答案5.已知x2y3z1，则x2y2z2的最小值为_.解析由柯西不等式，有(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21，x2y2z2，当且仅当时取等号.即x，y，z时，x2y2z2取最小值.答案6.已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值.解由柯西不等式得，有(2b23c26d2)(bcd)2即2b23c26d2(bcd)2由条件可得，5a2(3a)2解得，1a2当且仅当时等号成立，当b，c，d时，amax2.b1，c，d时，amin1.综合提高7.已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.， B.，C.1， D.1，解析x2y2z2当且仅当时，等号成立，则4k9k16k29k10，解得k，选B.答案B8.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1 B.nC.n2 D.解析设n个正数为x1，x2，xn，由柯西不等式，得(x1x2xn)(111)2n2.答案C9.设m、n、p为正实数，且m2n2p20.则的最小值为_.解析2p22(m2n2)(1212)(m2n2)(mn)2，.当且仅当mn时取等号.的最小值为.答案10.已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_.解析4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee25e216e0，故0e.答案11.已知x，y，zR，且xyz8，x2y2z224.求证：x4，y4，z4.证明显然xy8z，xyz28z20x，y是方程t2(8z)tz28z200的两个实根，由0得z4，同理可得y4，x4.12.设p是ABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离.R是ABC外接圆的半径，证明：.证明由柯西不等式得， 设S为ABC的面积，则axbycz2S2 ，故不等式成立.9