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1第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算题组一 导数的概念及运算1.设 f(x)xlnx,若 f(x 0)2,则 x0 ()Ae 2 Be C. Dln2ln22解析:f(x) x 1lnx1lnx ,由 1lnx 02,1x知 x0e.答案:B2设 f0(x)cosx,f 1(x)f 0(x),f 2(x)f 1(x),f n 1(x)f n(x) ,nN,则 f2010(x) ()Asinx Bsinx Ccos x Dcosx解析:f 1(x)(cos x)sinx,f 2(x)(sinx)cosx,f 3(x)(cosx )sinx, f4(x)(sinx)cosx,由此可知 fn(x)的值周期性重复出现,周期为 4,故 f2010(x)f 2(x)cosx .答案:D3(2009安徽高考)设函数 f(x) x3 x2tan,其中 0 , ,则导数sin3 3cos2 512f(1)的取值范围是 ()A2,2 B , C ,2 D ,22 3 3 2解析:f(x)sin x2 cosx,3f(1)sin cos2sin( )330, , , 512 3 3 34sin( ) ,1,f(1) ,23 22 2答案:D4设 f(x)(axb)sinx(cxd)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得 f(x )xcosx.解:由已知 f(x )( axb)sinx(cxd)cos x(axb)sinx( cxd)cosx (ax b)sinx(axb)(sinx) (cxd)cos x(cxd)(cosx)asinx (axb)cosx c cosx( cxd)sinx(acxd)sinx(ax bc)cosx.2又f(x) xcosx,必须有Error!即Error!解得 ad1,bc0.题组二 导数的几何意义5.(2009辽宁高考)曲线 y 在点(1 ,1)处的切线方程为 ()xx 2Ayx2 By 3x2Cy 2x3 Dy 2x1解析:y( ) ,ky | x1 2.xx 2 2(x 2)2l:y12( x1),即 y 2x1.答案:D6(2010福建四地六校联考) 下列曲线的所有切线构成的集合中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是 ()Af(x)e x Bf( x)x 3 Cf (x)lnx Df(x) sin x解析:设切点的横坐标为 x1,x 2则存在无数对互相垂直的切线,即 f(x 1)f( x2)1 有无数对 x1,x 2 使之成立对于 A 由 f(x)e x0,所以不存在 f(x 1)f(x 2)1 成立;对于 B 由于 f(x )3x 20,所以也不存在 f(x 1)f(x 2)1 成立;对于 C 由于 f(x)lnx 的定义域为(0,) ,f(x ) 0,1x对于 Df(x) cosx ,f(x 1)f( x2)cosx 1cosx2,当 x12k,x 2(2k1),kZ,f(x 1)f(x 2)1 恒成立答案:D7(2009宁夏、海南高考)曲线 yxe x2x1 在点(0,1)处的切线方程为_解析:ye xx ex2,y| x0 3,切线方程为 y13( x0),y3x1.答案:y3x18(2009福建高考)若曲线 f(x)ax 2lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围3是_解析:f(x) 2ax .1xf(x)存在垂直于 y 轴的切线,f(x )0 有解,即 2ax 0 有解,1xa ,a( ,0) 12x2答案:(,0)9已知函数 f(x)x 3x 16.(1)求曲线 yf(x )在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标;(3)如果曲线 yf(x )的某一切线与直线 y x3 垂直,求切点坐标与切线的方14程解:(1)可判定点(2,6)在曲线 yf (x)上f(x )(x 3x16)3x 21,在点(2,6)处的切线的斜率为 kf (2)13.切线的方程为 y13( x2)( 6),即 y13x32.(2)法一:设切点为(x 0,y 0),则直线 l 的斜率为 f(x 0)3 21,直线 l 的方程为 y(3 1)(xx 0) 3x 016,又直线 l 过点(0,0),0(3 20x1)( x 0) 3x 016,整理得, 38,x 02,y 0(2) 3(2)16 26,k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13x,切点坐标为(2,26) 法二:设直线 l 的方程为 ykx,切点为( x0,y 0),则 k 3016x,y0 0x0 0又kf(x 0)3 21,43016x3 20x1,解之得 x02,y 0(2) 3(2)16 26,k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13x,切点坐标为(2,26) (3)切线与直线 y 3 垂直,x4切线的斜率 k4.设切点的坐标为(x 0,y 0),则 f(x 0)3 214,x 01,Error!或Error!切线方程为 y4( x1)14 或 y4(x1) 18.即 y4x18 或 y4x14.题组三 导数的灵活应用10.下图中,有一个是函数 f(x) x3ax 2(a 21)x1( aR ,a0) 的导函数 f( x)的图13象,则 f(1) ()A 13 B C. D 或13 73 13 53解析:f(x)x 22ax (a 21),导函数 f(x )的图象开口向上又a0,其图象必为第(3)个图由图象特征知 f(0)0,且a0,a1.故 f(1) 11 .13 13答案:B11(文)(2010开原模拟)设 a0,f(x)a 2bxc,曲线 yf(x) 在点 P(x0,f(x 0)处切线5的倾斜角的取值范围为0, ,则点 P 到曲线 yf (x)对称轴距离的取值范围为()4A0, B0, C0 ,| | D0,| |1a 12a b2a b 12a解析:yf(x)在点 P(x0,f(x 0)处切线的倾斜角的范围为 0, ,0f ( x0)1,4即 02ax 0b1, x 0 ,0x 0 ,即点 P 到曲线 yf (x)对b2a 1 b2a b2a 12a称轴的距离的取值范围为0, 12a答案:B(理)曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30 的最短距离是 ()A. B2 C3 D05 5 5解析:设曲线上过点 P(x0,y 0)的切线平行于直线 2xy30,此切点到直线2xy30 的距离最短,即斜率是 2,则y|x x 0 (2x1)|x x 012x 1 |xx 0 2.22x 1 22x0 1解得 x01,所以 y00,即点 P(1,0),点 P 到直线 2xy 30 的距离为 ,|2 0 3|22 ( 1)2 5曲线 yln(2x 1)上的点到直线 2xy 30 的最短距离是 .5答案:A12(文) 设 t 0,点 P(t,0)是函数 f(x)x 3ax 与 g(x)bx 2c 的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线试用 t 表示 a,b,c.解:因为函数 f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以 f(t)0,即 t3at0.因为 t0,所以 at 2.g(t)0,即 bt2c 0,所以 cab.又因为 f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以 f(t) g( t)而 f(x )3x 2a,g( x)2 bx,所以 3t2a2bt.将 at 2 代入上式得 bt.因此 cabt 3.6故 at 2,bt,ct 3.(理)已知函数 f(x)ax 33x 2 6ax11,g( x)3x 26x12 ,和直线 m:ykx9,又f(1)0.(1)求 a 的值;(2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线,又是曲线 yg( x)的切线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由解:(1)f(x) 3ax26x6a,f ( 1)0,即 3a66a0,a2.(2)直线 m 恒过定点 (0,9),先求直线 m 是曲线 yg( x)的切线,设切点为(x0,3 206x 012),g(x 0)6x 06,切线方程为 y(3 26x 012)(6 x06)( xx 0),将点(0,9) 代入,得 x01,当 x01 时,切线方程为 y9;当 x01 时,切线方程为 y12x 9.由 f(x )0 得6x 26x 12 0,即有 x1 或 x2,当 x1 时,y f(x)的切线方程为 y18;当 x2 时,yf(x)的切线方程为 y9.公切线是 y9.又有 f(x) 12 得6x 26x 1212,x 0 或 x1.当 x0 时,yf(x)的切线方程为 y12x11;当 x1 时,yf(x)的切线方程为 y12x10,公切线不是 y12x 9.综上所述公切线是 y9,此时存在,k0.
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