二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微积分的基本公式,第五章,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,一个,例4. 计算,解:,例5. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,车到停车走了多少距离?,内容小结,则有,1. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,2. 变限积分求导公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法定此常数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,解：,的递推公式(n为正整数) .,由于,因此,所以,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,