,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,说明:,1) 如果曲面方程为,则,2) 如果曲面方程为,则,例1. 计算曲面积分,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,例3. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,因此,例4. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),思考与练习,P217 题1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P217 题1.,P217 题3.,设,则,P244 题2,P217 题4 (1)., 在 xOy 面上的投影域为,这是 的面积 !,P218 题7.,如图所示, 有,P244 题2.,限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),作业,P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,第五节,备用题 1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的,的面密度,质量 M .,解: 在 xOy 面上的投影为,故,2. 设 是四面体,面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,