,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算,对面积的曲面积分,第十一章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄片质量的思想, 采用,可得,求质,“分割, 近似, 求和, 取极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,1.定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,对面积的曲面积分,2. 意义,曲面的面积,f (x, y, z) 是定义在 上的,有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上,积分曲面,被积函数,面积元素,面密度为f (x,y,z)的曲面形构件的质量, 对积分域的可加性.,则有,3.性质,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 与曲面的侧无关., 线性性质.,光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算,则曲面积分,如果曲面方程为,可有类似的公式.,(化为二重积分),一投，二代，三换,例1. 计算,其中 是上半球面,解:,Dxy,例2. 已知曲面壳,求此曲面壳的质量 M .,的面密度,解:,例3. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,解: 将曲面分为前后(或左右)两片,例4. 设 是四面体,面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,例5. 设,一卦限中的部分, 则有( ).,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,