1,第六节 函数的连续性与连续函数,1、函数的增量,一、函数在一点处的连续,2,例1 证明函数y=x2在给定点x0处连续。 证 在x0处，函数的改变量为,所以 y = x2 在给定点x0处连续。,2、函数在一点处连续的定义,3,下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。,4,例2,证,5,定理,3. 单侧连续,6,例3,解,即不右连续也不左连续 ,7,例4,解,8,二、连续函数,9,例5,证,10,三、连续函数的运算和初等函数的连续性,定理1,例如,1、连续函数的四则运算法则,三角函数在其定义域内皆连续.,11,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2、反函数的连续性,12,定理3,3、复合函数的连续性,极限运算与函数运算可以交换,13,4、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,均在其定义域内连续.,14,所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.,一切初等函数在其定义域内都是连续的.,也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。,15,利用函数的连续性可以计算一些极限.,初等函数求极限的方法：代入法.,例6,例7,解,解,16,例8,解,极限运算与函数运算可以交换,17,例9,解,类似可得,18,例10,解,前面已证,19,常用等价无穷小:,20,等价代换原理：,证,只有在乘、除的极限运算中才能替换；,注意,在加、减的极限运算中不能替换！,21,例11,解,22,例12,解,解,错,23,例13,解,24,例14,解,例15,解,25,定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值.,1、有界性与最大值最小值定理,四、闭区间上的连续函数,记作,26,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,27,2、介值定理与零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 .,28,几何解释:,29,几何解释:,定义,30,例16,证,由零点定理,31,例17,证,由零点定理,32,练习：,P67 习题二,