5.3 偏导数与全微分 5.3.1偏导数,在前面一元函数部分, 由函数关于自变量的变化率问题引 进了导数的概念. 现在我们考虑二元函数的变化率.假定两个 自变量中只有一个改变, 而另一个保持不变而得到的“导数” 称为偏导数。,定义6.3.1 设函数z=f(x, y)在点 的某个邻域内有定 义. 如果固定 后, 一元函数 在点 处可导, 即极限 存在, 则称此极限值为函数z=f(x, y)在点 处关于自变 量x的偏导数,例5.3.1 求函数 在点(1,2)处的偏导数。,解 求 时, 把y看作常数,对x求导得,求 时, 把x看作常数, 对y求导得,将x=1,y=2分别待入上面两式，得,解 设中间变量u=xy, 则z=f(xy)可看成一元函数z=f(u)与 二元函数u=xy的复合函数。于是，由一元函数的琏式求导 法则，可得,解 把y和z都看作常量，对x求导得,5.3.2 偏导数的意义,1. 偏导数的几何意义,2. 偏导数的经济意义,5.3.3 高阶偏导数,一般地, 二元函数z=f(x, y)的偏导数 仍为自变量x, y 的二元函数. 因此有一个继续求偏导数的问题. 如果这两个 偏导数关于x, y的偏导数还存在, 则称它们为二元函数 z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对两个自变量的求导次序不同, 二元函数有下列四个二阶偏导数它们分别为:,其中， 称为函数z=f(x, y)对x和对y的二阶偏导数， 称为函数z=f(x, y)对x和对y的二阶混合偏导数。,类似地，还可得到更高阶的偏导数，如,二元函数z=f(x, y)的4个二阶偏导数仍为x,y的函数，又 有可能再对x,y求偏导数，得到z=f(x, y)的8个三阶偏导数。,一般地，对函数z=f(x, y)的n阶偏导数再求一次偏导数， 便得到z=f(x, y)的n+1阶偏导数。例如, n阶偏导数,解 先求一阶偏导数,再求二阶偏导数,可以看出，上例中两个混合偏导数是相等的，但并不是 对所有函数都成立。我们有如下结论：,若函数z=f(x, y)的两个混合偏导数 在区域 D内连续，则必有,5.3.4 全微分,定义5.3.2 设二元函数z=f(x, y)在点 的某邻域内 有定义，对于自变量x, y在点 处的改变量 , 如果函数z=f(x, y)相应的改变量,可以表示为,则称 的线性主部 为函数z=f(x,y) 在点 处的全微分，记为dz，即,并称函数在此处可微分。若函数在区域D的每一点处都 可微，则称函数在区域D内可微。,二元函数的偏导数、全微分和连续性之间关系的有如下 定理：,定理5.3.1 若函数z=f(x, y)在点 处可微，则函数在 点 处的偏导数存在，且有,定理5.3.3 若函数z=f(x, y)在点 的某邻域内偏导数 存在且连续，则函数在点 处可微。,定理5.3.2 若函数z=f(x, y)在点 处可微，则函数在点 处连续。,对n元函数 类似地定义全微分，并 有类似的计算公式,当自变量改变量的绝对值 充分小时，可以利 用全微分进行近似计算，近似公式为,例5.3.12(工厂的扩大再生产问题) 已知某厂的产量Q为 其投入的资金K和劳力L的函数：Qf(K, L), 但函数f(K, L) 的具体形式不知道，只知道：,现在工厂准备扩大投入，使K=24, L=69. 试计算扩大投入 后，该厂产量及产量改变量的近似值。,