湘潭大学数学与计算科学学院,1,第4章 微分方程与差分方程,湘潭大学数学与计算科学学院,2,在科学技术和经济管理等许多实际问题中，,系统中的变量间往往可以表示成一个（组）微分方程,或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的量,的离散变量，,间隔时间周期作为统计的.,动态,是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值,例如在经济变量的数据中就有很多以,湘潭大学数学与计算科学学院,3,4.1 几类可降阶的高阶微分方程,四、 小结,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,湘潭大学数学与计算科学学院,4,下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法.,二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.,有些高阶微分方程，可以通过自变量或未知函数的,代换降低阶数，从而求出解来.,湘潭大学数学与计算科学学院,5,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,变量代换,则,湘潭大学数学与计算科学学院,6,例1,解,（此处,湘潭大学数学与计算科学学院,7,例2 解微分方程,. 解 对方程两边积分得：,再对以上二阶方程积分得,最后对以上一阶方程积分，得通解为,湘潭大学数学与计算科学学院,8,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,则,变量代换,湘潭大学数学与计算科学学院,9,例3 求解,解 令,代入方程，得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,则,湘潭大学数学与计算科学学院,10,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,变量代换,则,湘潭大学数学与计算科学学院,11,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解 设,则,例4 求解,湘潭大学数学与计算科学学院,12,解 令,代入方程，得,积分得,利用初始条件,则,例5 解初值问题,湘潭大学数学与计算科学学院,13,故所求特解为,积分得,得,根据,湘潭大学数学与计算科学学院,14,四、小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,则,则,湘潭大学数学与计算科学学院,15,思考与练习,1. 方程,如何代换求解?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,例5,湘潭大学数学与计算科学学院,16,练 习 题,湘潭大学数学与计算科学学院,17,练习题答案,湘潭大学数学与计算科学学院,18,作 业,