第二章 分离变量法,2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤 有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布,2.2、一般格式、固有值问题,2.3、非齐次问、非齐次方程的解法、 非齐次边界条件的处理,2.4、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,令,代入方程：,令,代入边界条件,一 求两端固定的弦自由振动的规律,2.1 、分离变量法的基本思想和解题步骤,特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3）,二阶常系数微分方程：,特征方程：,根的三种情况：,得常系数微分方程的通解：,附录:,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2 解的性质,x=x0时：,其中：,这表示在任意一点,处都作简谐振动。,t=t0时：,这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，,其振幅,随不同的时间,而不同。,振幅:,频率:,初位相:,波节:,波腹:,驻波法,于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(na)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。,中最小的一个,称为基频，,相应的,称为基波,称为谐频，,相应的,称为谐波。,基波的作用往往最显著,第一步: 分离变量。令,适合方程和边界条件，,从而 定出所适合的固有值问题，以及,适合的常微分方程.,第二步: 解固有值问题，的分离变量形状的解。 求出全部特征值和特征函数.并求出相应的,的表达式.,第三步: 叠加定系数。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数.,综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步：,例(1) : 求下列定解问题,解：,解：,例(2) 求下列定解问题,初始条件,例(3) 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题,用 遍除各项即得,关于 T 的方程,关于 X 的方程,分离为,(iii),(i) 0,(ii) 0,无意义,( C0 为任意常数）,先确定积分常数,否则方程无解，,固有函数,把0 与 0 情况的固有值、固有函数 合在一起：,固有值,只有,( C1为任意常数）,傅里叶余弦级数的基本函数族,当 0 时，将本征值代入 T 的方程：,其解,其中A0 、B0 、An 、Bn 均为独立的任意常数。,代回,傅里叶余弦级数的基本函数族,由初始条件,所有本征振动的叠加 一般解,系数A0 、B0 、An 、Bn由初始条件确定,得,把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数,得,定解问题,答 案,*例(4) 求下列定解问题,令,带入方程：,解：,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,例(5) 研究细杆导热问题, 初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端温度为 u0，杆上温度梯度均匀, 零度的一端保持温度不变, 另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。,解,杆上温度满足下列泛定方程和定解条件,泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法。,设,代入方程和边界条件得,关于 T 的方程,本征值问题,仅讨论 的情况：,(i) 0 或0：,无意义,固有值,只有,相应的固有函数,关于 T 的方程,由初始条件确定系数,可以看出: t0时，随着t 的增大级数解收敛得很快, t 越大, 级数收敛越快。 t时，u(x,t) 0，即细杆内的温度从开始时的分布趋向于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平衡态趋向于热力学平衡态。,答案,例(6) 一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。,解：,分离变量流程图,常用本征方程 齐次边界条件,拉普拉斯方程 矩形区域问题 圆形区域问题,三 稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,拉普拉斯方程 矩形区域,定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 X边界条件分离 分离解 叠加 Y边界条件要求,2 圆域内的拉普拉斯问题,例9 圆柱体稳态温度分布,解：(1)设,欧拉方程,(2)解固有值问题,1）,2）,3）,欧拉方程,令,级数解：,常用本征方程 周期边界条件,拉普拉斯方程 圆形区域,定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 自然边界条件 分离结果 固有值问题求解 固有值 固有函数,拉普拉斯方程 圆形区域,径向方程求解 分离解 叠加 边界条件要求,例10 求下列定解问题,解：,欧拉方程,令,其它为零,例12 求下列定解问题,解：,欧拉方程,其他为零,2.2、一般格式、固有值问题,2.2.1 一般格式和问题,第一步，分离变量。,第二步，解固有值问题，得分离变量形状特解。,第三步，叠加定系数。,固有值是否存在； 如果存在的话，固有函数系是否正交。,2.2.2 固有值问题的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)定理,一般的二阶齐次线性常微分方程,下面就施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题,以上称为正则的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)的固有值问题。,有如下结论：,1) 可数性,2) 非负性,3) 正交性,4) 完备性,例1 解固有值问题,解：,例2 解固有值问题,解：,例3 解固有值问题,解：,另解：设想能不能通过变量代换将方程化成最简单的S-L 型方程，即消除一阶导项。,令：,代入方程：,0,例2.2.4 求满足双调和方程定解问题的所有分离变量形状的解,解：,代入Y的方程，其特征方程为：,特征方程为,附录： 阶常系数齐次线性方程解法,有两个二重根,故解得相应的,问题的全部分离变量形状解为,例2.2.5 求长方体内稳恒温度分布,解：这是我们遇到的第一个高维问题，仍试着用分 离变量法求解。,以及常微分方程,解两个固有值问题,2.3、非齐次问题,2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题,