第四节 一阶线性微分方程,一、线性方程,和未知函数的导数都是一次的.,方程中未知,这类方程称为一阶线性微分方程.,上述方程的特点是:,函数,一阶线性微分方程的标准形式,非齐次的.,齐次的;,其中,是 x 的已知函数.,一阶齐次线性微分方程:,基本思想:,化为,的形式.,补例1,求方程,解,的通解.,基本思想:,化为,的形式.,方程左边设法凑成一个导数,所以,所求方程的通解为,补例2,的通解.,求方程,解,方程两边同乘以,化为上例.,得,一般的,对于方程,也可考虑方程两边同乘以一个函数,(待定),设法使方程左边凑成一个导数.,欲化为,非齐次,只需求出,从而,代入上式即可得通解.,上式与,比较,得,欲化为,现在来求,即,非齐次,即,分离变量得,求一阶非齐次线性微分方程,的通解公式,(2)将求出的因子 代入,通解为,一阶非齐次线性方程(1)的通解公式,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,非齐次,因子,例1,求方程,解,的通解.,方程两边同乘以,得,解,通解为,方程两端取不定积分,得,例1,求方程,法二:,先求,故,的通解.,所求方程的通解为,补例3,的通解.,求方程,解,先把方程化为标准形式,与上例类似.,补例4,求方程,解,的通解.,方程两边同乘以,得,解,所求方程的通解为,方程两端取不定积分,得,补例4,求方程,的通解.,补例5,求方程,解,的通解.,上式关于因变量y并非线性微分方程,但,即,把 x 作为因变量是一阶线性微分方程.,解,上方程两边同乘以 y ,得,所求方程的通解为,方程两端取不定积分,得,练习:,的通解.,求方程,解,方程左边设法凑成一个导数,所以,所求方程的通解为,利用变量代换,(因变量的变量代换,或自变量的变量代换),把一个微分方程,化为变量可分离的方程,或化为已经知,其求解步骤的方程,这是解微分方程,最常用的方法.,下面再举一个例子.,例4,解方程,解,把原方程变形为,即为一阶线性方程,得,故原方程的通解为,例4,解方程,法二:,作变量代换,两端对 x 求导,得,代入原方程,得,则,由,分离变量,得,两端分别积分,有,得,得,由,把,代入上式,即得,故原方程的通解为,亦即,