Go the distance 【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻 辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定 值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了 一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用 【方法点评】 方法一方法一 定点问题定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把方 程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零， 这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通 过特例探求，再用一般化方法证明 【例 1】 【四川省广安市 2014 年高 2011 级第三次诊断考试 20】(本小题 13 分)已知 A、B 是椭圆1 2 2 2 y x 上的两点，且FBAF，其中 F 为椭圆的右焦点. (1)求实数的取值范围; (2)在 x 轴上是否存在一个定点 M，使得MBMA为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明 理由.来源:学科网 Go the distance 【变式演练 1】 【2015 届广东惠州市第二次调研】已知椭圆C过点 6 (1,) 2 M，点(2,0)F 是椭圆的左焦 点，点P、Q是椭圆C上的两个动点，且PF、MF、QF成等差数列 （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A. Go the distance Go the distance Go the distance 方法方法二二 定值问题定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小 或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值 问题常见的解题模板有两种： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 【例 2】 【河北省唐山市 20142015 学年度高三年级摸底考试 20】 椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 3 5 ，P(m，0)为 C 的长轴上的一个动点，过 P 点斜率为 4 5 的直 线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m0 时， 41 2 PA PB (1)求 C 的方程； (2)证明： 22 |PAPB为定值. Go the distance 【变式演练 2】 【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试高三数学试卷】如图，已知椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 1 ba b y a x C过点(1， 2 2 )，离心率为 2 2 ，左、右焦点分别为 12 FF、 .点P 为直线 2lxy： 上且不在x轴上的任意一点，直线 1 PF 和 2 PF 与椭圆的交点分别为AB、 和CDO、 ， 为 坐标原点 (1)求椭圆的标准方程 (2)设直线 12 PFPF、 的斜率分别为 12 kk、 .来源:学,科,网 ()证明： 21 31 kk 2. ()问直线l 上是否存在点 P，使得直线OAOBOCOD、 的斜率 OAOBOCOD kkkk、 满足 0 OAOBOCOD kkkk ？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明由 来源:Z_xx_k.Com Go the distance Go the distance 【高考再现】 1.【2013 年普通高等学校招生全国统一 考试（广东卷）文科】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点 0,0Fcc 到直线:20l xy的距离为 3 2 2 设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切 线,PA PB，其中,A B为切点 (1) 求抛物线C的方程； (2) 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值 Go the distance Go the distance 2. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷） 理】 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc 到直线l:20xy的距离为 3 2 2 .设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PA PB,其中 ,A B为切点. Go the distance () 求抛物线C的方程； () 当点 00 ,P xy为直线l上的定点时,求直线AB的方程； () 当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值. 解：() 依题意,设抛物线C的方程为 2 4xcy,由 023 2 22 c 结合0c ,来源:Z_xx_k.Com 解得1c . 所以抛物线C的方程为 2 4xy. () 抛物线C的方程为 2 4xy,即 2 1 4 yx,求导得 1 2 yx Go the distance 3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. () 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; () 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是PBQ的角平分 线, 证明直线 l 过定点. Go the distance 4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】 椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 12 ,F F，离心率为 2 3 ，过 1 F且垂直于x轴的直线 被椭圆C截得的线段长为1. （）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接 12 ,PF PF，设 12 FPF的角平分线PM交C的长轴于 点,0M m，求m的取值范围； （） 在 （） 的条件下， 过点P作斜率为k的直线l,使l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线的 12 ,PF PF 斜率分别为 12 ,k k.若0k ，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求出这个定值. Go the distance 00 12 00 , 33 yy kk xx 0 120 211x kky . Go the distance 5.【2012 年高考湖南卷理科】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2： （x-5）2y2=9 外，且对 C1上任 意一点 M，M 到直线 x=2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值. （）求曲线 C1的方程； （）设 P(x0,y0)（y03）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线 C1相交于点 A，B 和 C， D.证明：当 P 在直线 x=4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值. 解： （）解法 1 ：设 M 的坐标为( , )x y，由已知得 22 2(5)3xxy， 易知圆 2 C上的点位于直线2x 的右侧.于是20x，所以 22 (5)5xyx. Go the distance 0102 1234 1 2 400(4 )(4)ykyk y y y y k k 2 01201 2 1 2 4004()16ykkyk k k k Go the distance 22 001 2 1 2 40016 6400 yyk k k k . 所以，当 P 在直线4x 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值 6400 6.【20122012 年高考辽宁卷理科】年高考辽宁卷理科】如图，椭圆 22 0 22 :+=1b0,a,b xy Ca ab 为常数，动圆 222 111 :+=, y ，, Go the distance 由得， 2 1 2 2 21 = 2 m AFBF m ， 2 2 1 = 2 m AF BF m ， 12 23 +=2 2=2 22 PFPF, 12 PFPF是定值. 8.【2014 山东，理 21】已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过 点A的直线l交C于另一点B， 交x轴的正半轴于点D， 且有| |FAFD.当点A的横坐标为 3 时，ADF Go the distance 为正三角形. （）求C的方程； （）若直线 1/ ll，且 1 l和C有且只有一个公共点E， （）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 故直线 AB 的斜率 kABy0 2. 因为直线 l1和直线 AB 平行， Go the distance 所以点 B 到直线 AE 的距离为 d 4 x0x04m y08 y0 1 1m2 4（x01） x0 4 x0 1 x0 ， 则ABE 的学科网面积 S1 2 4 x0 1 x0 x01 x0216， 当且仅当1 x0x0，即 x01 时，等号成立 所以ABE的面积的最小值为 16. 9. 【2014 辽宁，理 20】圆 22 4xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面 积最小时，切点为 P（如图） ，双曲线 22 1 22 :1 xy C ab 过点 P 且离心率为3. （1）求 1 C的方程； Go the distance （2）椭圆 2 C过点 P 且与 1 C有相同的焦点，直线l过 2 C的右焦点且与 2 C交于 A，B 两点，若以线段 AB 为 直径的圆心过点 P，求l的方程. x1x2m（y1y2）2 3 4 3 m22 ， x1x2m2y1y2 3m（y1y2）366m 2 m22 . 因为AP ( 2x 1， 2y1)，BP ( 2x 2， 2y2)，由题意知AP BP0， 所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40， Go the distance 将代入式整理得 2m22 6m4 6110， 解得 m3 6 2 1 或 m 6 2 1. 因此直线 l 的方程为 x(3 6 2 1)y 30 或 x( 6 2 1)y 30. 10. 【2014 江西，理 20】如图，已知双曲线C: 2 2 2 1 x y a (0a )的右焦点F,点BA,分别在C的两条渐 近线上，xAF 轴，BFOBAB,OA(O为坐标原点）. （1）求双曲线C的方程； （2）过C上一点)0)( 00, 0 yyxP的直线1: 0 2 0 yy a xx l与直线AF相交于点M， 与直线 2 3 x相交于点 N，证明点P在C上移动时， NF MF 恒为定值，并求此定值 （2）A(2， 3 32 )，1 3 : 0 0 yy xx l，F（2,0） ， M(2， 0 0 3 32 y x )，N( 2 3 ， 0 0 2 2 y x ) 9 分 Go the distance 3 32 3 |32| |32| 3 2 )2(1 3 3 |