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第五章 误差基本知识,学习本章的意义 :使同学们掌握怎样把误差的基本知识应用到实际工程。 内容主要有 :误差概述、偶然误差的性质、衡量精度的标准、误差转播定律、观测值及算术平均值中误差、非等精度观测。 教学要求 : (1)掌握误差的分类及性质、衡量精度的标准、误差转播定律、怎样求观测值及算术平均值中误差。 (2)了解非等精度观测。,第五章 误差基本知识,重点 误差的分类及特点 中误差 误差传播定理 算术平均值的中误差,难点 误差传播定理 非等精度观测,5.1 测量误差概述,1.什么叫误差? 误差观测值真值 iliX 2.研究误差的目的 怎样提高精度? 怎样去满足精度进行施测? 3.误差产生的原因 仪器、设备构造不完善 观 测 者眼睛的分辨率60 外 界 条 件气温、大气折光、风力等影响,4.误差的分类 观测成果的精确程度简称为精度,观测精度取决于观测时所处的条件。依据观测条件来区分观测值,可分为: 同等精度:观测条件相同的各次观测 不等精度观测:观测条件不相同的各次观测 在相同观测条件下测量误差可分为:,过失误差(粗差):观测者错误引起 问题(1):甲建筑公司在郑州大学行政楼施工中进行变形观测,一次用DS3仪器测量A点的沉降量为1.3mm,请问这次测量结果是不是过失误差?,系统误差:误差的大小符号按一定的规律变化 产生的原因:外界条件、仪器设备、观测方法、计算手段 消除、减弱系统误差方法: 检校仪器 求改正数 对称观测,偶然误差:误差的大小、符号无一定的规律变化,但符合某一统计规律 产生的原因:人的感觉器官、仪器的性能 处理方法:进行多余观测 有了多余观测,可以发现观测值中的错误,以便将其剔除和重测。 有了多余观测,观测值之间必然产生矛盾(往返差、不符值或闭合差等),差值如果大到一定的程度,就认为观测值中有错误,或者说误差超限,需要返工重测。 差值如果不超限,则按偶然误差的规律加以处理,称为“闭合差的调整”,问题(2)判断下列误差各属于哪些误差: 数据记错、尺子颠倒、温度改正、尺长改正、大气折光误差、 视准误差、度盘偏心误差、竖轴误差、尺子零点误差、对中误差、照准误差、估读误差,5.偶然误差的特性,现重复观测了多个三角形内角和,得到真误差 iLi180,统计见表5-1,从这个列表中,我们可以看出偶然误差的几个特性: 有界性 密集性 对称性; 抵偿性,6.偶然误差的分布曲线,误差分布曲线一条正态分布曲线,可用正态分布概率密度函数表示:,5.2衡量精度的标准,一、精度的含义 所谓精度,是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中(曲线a),则观测精度高;若误差分布离散(曲线b),则观测精度就低。,二、平均误差,/n 越小,精度越高 三、中误差 m越小,精度越高 例1、设甲乙两组观测,真误差为: 甲:4,3 ,0 ,2 ,4 乙:6,1 ,0 ,1 ,5 试比较两组的精度。,1、平均误差: 甲乙2.6 甲组的离散区间(4,4) 乙组的离散区间(5,6) 所以甲组精度高。 2、中误差: 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 中误差(m)与真误差( )不同,它只是表示某一组观测值的精度指标,并不等于任何观测值的真误差。若为等精度观测,那么组中每个观测值的精度皆为m。 中误差的概率含义是:对任一观测值li的真误差i,落在区间m,+m的概率是0.68。,四、相对误差,例2、假设现在丈量了两段距离: 甲:1000.01米;乙: 2000.01米 到底那组的精度高些呢? 如果从中误差来看,两组的精度相等,但这样显然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相关,距离越大,误差的累积就越大,这就需要引入相对误差: K= m/D (注意化为分子为1的形式) K甲1/10000,K乙1/20000, 甲组精度高。 例3、12835183.8 ; 2 30815123.2,那组的精度高?,五、极限误差,P-mm0.683 P-2m2m0.954 P-3m3m0.997 我们可以看到,对于真误差来说,它的值落在区间3m,3m几乎是肯定的事。因此在测量工作中,我们常常取三倍中误差作为偶然误差的容许值(或限差),如果精度要求较高时,就可以取两倍中误差作为限差,即: 容士 2|m| 或 容士3|m |,5.3 误差传播定律,误差传播定律:是指描述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律 一、一般函数的中误差 设Z=f(x1,x2,xn),其中x1,x2,xn属于独立自变量(如直接观测值),他们的中误差分别为m1,m2,mn则函数Z的中误差为 :,二、特殊函数的中误差,1、倍数函数:Z=kx 中误差:mz=kmx 2、和差函数 :Z=x1x2xn 中误差: 3、线形函数 : Z=k1x1k2x2knxn 中误差:,例4:在ABC中,测量得a137.2850.012m A=56 351838, B=38303226 求b及其中误差? 解:b=asin B/sin A =137.285sin 383032/sin56 3518102.402 dbb/a dab ctan B (d B/) b ctan A (d A /) =206265 mb( b/a)ma( b ctan B )(mB/ ) ( b ctan A ) (mA/ ) 0.0000498 mb0.022,则b102.402 0.022m,例5:在O点观测了3个方向,测得方向值l1、l2、l3,设各方向的中误差均为m,求m、 m和m 。 l2l1, l3l2, , (错误计算:因为和并非独立的观测值,因为它们都用到了方向值l2)正确计算应为: l3l1, 从这道题应该注意到中误差传播定律的前提是x1、x2xn为相互独立的观测值。,l1,l2,l3,小结,正确列出函数式; 检查观测值是否独立; 求偏微分并代入观测值确定系数; 套用公式求出中误差。 思考题:一个边长为l的正方形,若测量一边中误差为ml1cm,求周长的中误差?若四边都测量,且测量精度相同,均为ml,则周长中误差是多少?,5.4等精度直接观测值,1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测,得观测值l1,l2,ln 算术平均值为 :L=(l1+l2+ln )/n=l/n 算术平均值原理:当n时,L=X 证明:iliX, =l nX, /n=l/n X,根据偶然误差第4特性即证 算术平均值是观测量的“最可靠值”,或者叫做“最或是值”。,2、或然误差,或然误差:viliL 或然误差特性: v=0 3、由或然误差求中误差: (白塞尔公式) 例:见教材中的例子 4、算术平均值中误差 : 从这个公式可以看出,要使算术平均值中误差变小,可以通过两个方面来实现:一是增加观测次数n,但观测次数也不可能无限多,而且增加到一定次数后对算术平均值中误差 的影响不明显,所以一般n取24;二是减小每次观测时的中误差m,也就是要改善观测条件,例如用精度更高的仪器,提高观测者的技能、责任心,在气象条件好的环境下观测。,5.5误差传播定律的应用,一、水准测量的误差分析 每站的高差为:h = a - b ;m读 3mm 一站的高差中误差:m站 = 4mm 线路n站,则总高差: 取3倍中误差为限差,则普通水准路线的容许误差为 :,二、水平角观测的误差分析,用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角,那么用盘左盘右观测同一方向的中误差为6 , 所以瞄准一个方向的中误差为: 上半测回角值:半ba 半测回角值差: 半测回差取2m 34 ,考虑到其它不利因素 ,所以取半测回差应该小于40 。 一测回角值: ( 上 下 )/2 一测回角值精度m = 8.5 ,测回角值之差:= 1- 2,m =12 测回差取2m= 24 ,规范测回差限差24 例:为了让某一角度的精度达到4 ,问用DJ6经纬仪需要测几个测回? 解: n(8.5/4)4.5 所以需要测5个测回 假定精度达到1.7 ,用DJ6经纬仪测几个测回?如果用DJ2经纬仪需要测几个测回? DJ6: n(8.5/1.7)25测回 DJ2: n(2.82/1.7)2.8,即3测回,5.6加权平均值及其中误差,例:假设对一个水平角进行了两组等精度的观测,其中甲组观测了2测回,测得水平角分别为l1、l2,计算得平均L1=( l1+l2 )/2;乙组观测了4测回,测得水平角分别为l3、l4、 l5、l6,计算得平均L2=( l3+l4+ l5+l6 )/4。那么这个水平角应怎样计算? L=(L1+L2)/2 L=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4),一、非等精度观测及观测值的权,上例中:甲组观测值的算术平均值精度: 而乙组观测值的算术平均值精度为: m2m1,也就是L2的精度比L1要高。如果要将L1、L2进行平均,应该是精度高的数值所占的“比重”大一些,精度低的数值所占的“比重”应该小一些,这个“比重”就是通常我们所说的“权”。 1、权的定义 权:观测值精度的可靠程度。 “权”与中误差成反比,观测值或观测值函数的精度越高,其权越大 。 Pi=/mi ( 是常数),2、单位权 在Pi=/mi中,当Pi=1,Pi为单位权 Pi=1时相应的观测值,称单位权观测值; Pi=1时,mi ,当权为1时, 常数等于观测值的中误差,所以称为单位权中误差(用m0表示) 3、定权的常用方法 等精度观测值算术平均值的权 :m(观测值中误差), ,则Pnn 水准测量的权:水准路线的权与路线长度成反比,即PiK/Li,二、加权平均值及其中误差,1.加权平均值 例:L=(2L1+4L2)/(2+4) 2.单位权中误差(m0) 3、加权平均值的中误差(M0) M0 例:如图,已知L14Km, L22.5Km,L38.5Km,HA78.324m,h1-7.980m; HB64.347m, h25.992m; HC24.836m,h345.516m 求P点的高程平均值及其中误差 ? 加权平均值: HP= PL/P=70.343m 单位权中误差:m0= = 9mm 加权平均值的中误差: M0 = = 3.2mm,
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