MMT,YANGZHOUDAXUE,物理科学与技术学院,第十一讲、错误检测和校正,第1节 理论基础,错误的检测和校正是通过编码来实现的。 检错编码的目的是通过解码能够发现数据在传输过程中出现了错误 纠错编码不仅能够检测到错误还能够纠正过来。 因为错误是在信道传输中产生，所以纠错或检错编码属于（通信）信道编码，而压缩编码属于信源编码。,香农定理指出：当信息传输速率（R）低于信道容量时，通过编译码，就能够使错误概率为任意小。 信道容量指信道传输信息的最大能力或传输信息的最大值，单位bit/s，香农给出高斯白噪声信道的信道容量（C）公式：,W ：信道带宽 PS :信号功率 N0 :噪声功率密度,香农第二定理没有明确指出编译码方法。,纠（检）错码类型：,本讲只介绍几种简单的线性分组码和交织码的概念。,分组码的表示： 分组码将k个码元（一般为二进制数）组成一个信息组。例如k=3，则有000，001，111八种信息组。编码器根据信息组按某种规律产生r个码元（校验元），形成一个长n=k+r的码字，成为（n,k）分组码。n表示码长，k表示信息位的数目。 例1：重复码 规则：k=1，如果信息码字为1，则发送111。 如果信息码子为0，则发送000。 这是一个（3，1）分组码。 例2：一个（4，2）分组码（c3,c2,c1,c0），信息码字(c3,c2)可能为00，01，10，11，校验码字定义为c1=c2,c0=c3+c2。则码字可能为：0000，0111，1001，1110。 例1和例2中的发送码字为合法码字，如果接受端收到非法码字则说明发生错误。,例3：奇偶校验码 规则：在k个信息源后加上1位校验元，使得n=k+1个码元中0(1)的个数为奇（偶）数个。 例如一个（4，3）码，使0的个数为偶数个，则： Messages codewords 000 0000 001 0011 010 0101 011 0110 100 1001 101 1010 110 1100 111 1111,检错和纠错 重复码可以检出错两位和错一位的情况，可以纠正错一位的情况。 重复码译码规则： 000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 1 奇偶校验码仅是检错码，且只能检出错奇数位的情况。,信道出错的类型,噪声对传输码元的影响独立，即每一个差错的出现与否与其前后是否有差错无关。 这样的信道称为无记忆信道。 因为和前后无关，出现错误的机会可以用独立的概率来表示（Pe）。如果仅考虑0和1，又有1错误的变成0和0错误的变成1的概率相等，则这样的信道称为BSC（Binary Symmetric Channel，二进制对称信道）。表示为下图：,若信道的错误不是独立出现，而是成串的出现，则称为有记忆信道。可以采取交织编码技术解决。 实际的信道两种错误都可能发生。,差错控制系统分类,一、前向纠错（FEC）方式 FEC(Forward Error Control)方式是发端发送能够纠错的码，收端通过译码器纠正这些错误。例如重复码。但不能保证百分之百纠错。 二、重传反馈（ARQ）方式 ARQ(Automatic Repeat Request)方式是发端发送能够检错的码，收端发现有错误时，给发端发送一个出错信号要求重发。例如奇偶校验码。也不能保证百分之百检错。 三、混合纠错（HEC）方式 HEC(Hybird Error Control)方式是上述两种方式的结合。发送端发送的码即能检错，又能纠错。译码器如果发现错误可以纠正就自动纠正，如果错误不能纠正，则通知发端重发。 CRC,奇偶校验码和重复码都不属于这类编码。,第2节 CRC（Cyclic Redundancy Code）检错编码,基本思想： 1、除法 被除数x，除数y，商z，余数C。 有： x=yz+c x-c=yz 所以，x-c肯定可以被y整除。 2、二进制数的模2加减法 定义：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=0 0-0=0，1-0=1，0-1=-1=1，1-1=0 可以看到模2加法和减法是一样的。 由模2加减法可以定义模2的乘除法。,编码： 设待编码的数据为k位，例110101101（k=9） 设除数为r+1位，例10011(r=4) 则余数最多为r位。 令：被除数=待编码的数2r，1101011010000，n=k+r位 模2除法：,则：1101011010000=10011110000101+1111 有：1101011010000+1111=10011110000101 1101011011111=10011110000101 1101011011111就是CRC编码的结果，最后的1111就是CRC校验码。 解码：看收到的数据能否被10011整除。如果可以，认为没有出错；如果不能，通知发端重发。 上面的例子是一个（13，9）检错码。,第3节 混合纠错码举例,一个（7，3）码：,校验位生成规则：,合法码字：,合法码字生成规则：,G为生成矩阵,H为校验矩阵，当校验结果为0，则认为没有错，否则有错,证明：,观察校验矩阵H,H的每一列都不一样 任意两列的和都不等于H的其它列 第1列加第2列等于第4列加第7列 第4，5，6列的和等于第1列 第1，4，5，6列的和等于0,出错假设：,E可能有0000001到1111111共127种情况，E称为出错图样。,校验：,有1位错：,S不为0，一定有错，且根据S的具体值知道哪一位出错。,有2位错：,S不为0，一定有错，但不知哪2位出错。 因为任意两列的和都不等于H的其它列，所以不会误认为1位错。,有3位错：,S不为0，一定有错。 会误认为第1位错，从而误纠错。,有4位错：,S为0，误认为没有错。,上例编码的检纠错能力： 1、能够检出1位2位3位错。 2、能够纠正1位错。 3、能够对2位错不误纠正。 4、对3位错会误纠。 5、对4位错会误检。,S等于H中和错误图样相对应的列之和。 可以从H得出编码的纠错能力。,该码可以用于HCE方式。,在实际应用中，比特差错经常成串发生，而信道编码仅在检测和校正单个差错和不太长的差错串时才最有效。 为了纠正这些成串发生的比特差错，交织技术对已编码的信号按一定规则重新排列，解交织后突发性错误在位置上被分散，使其类似于独立发生的随机错误。 交织编码和纠错编码连用。一般来说，在发端先对数据进行纠错编码，然后再进行交积处理。,第4节 交织编码技术,交织的原理图：,光盘用到的编码技术： CRC码 RS码： 也是一个（n,k）线性分组码。但是它有纠正(n-k)/2个错误的能力。 CIRC码： RS编码和交织技术相结合形成CIRC码，用在CD-ROM中。 RSPC码: 基本思想用两次RS编码对数据矩阵的行和列编码，使得误码率进一步降低。 ECC码: 在RSPC的基础上对行和列做交织处理。,本章小节,检错纠错编码属于信道编码。 选用什么编码算法首先需要知道信道的特性。 从信息的角度说，纠错编码是通过加大数据量来换取准确率。 交织技术的目的是为了把可能集中发生的错误分散开。 检错纠错编码可以连用。,