1.5 场函数的高阶微分运算,1、场函数的三种基本微分运算,标量场的梯度f ,矢量场的散度F 和F 旋度简称 “三度” 运算。,2、场函数的二阶运算,（5）矢量场旋度的旋度 (F),（1）标量场梯度的散度 f,（2）标量场梯度的旋度 f,（3）矢量场散度的梯度 (F),（4）矢量场旋度的散度 (F),两个重要的恒等式,3、场函数 的拉普拉斯运算,所以有,在直角坐标系中,标量场,因为,所以, 2 作用于矢量场,算符 2 作用于矢量场的结果将得到一个新的矢量场。,在直角坐标系中,A ( B C ) = B (AC) C (AB),4、两个与算符 2 有关的恒等式,相对坐标标量函数,相对位置矢量 R 及其模 R,因为,例 5 计算 。,解,1 高斯散度定理（Gauss）,证明：,上式可写成,取 的极限，可得,1.6 矢量场的积分定理,该公式表明了区域V 中场F与边界S上的场F 之间的关系。,矢量函数的面积分与体积分的互换。,2 斯托克斯定理(Stockes),取 的极限，可得,上式可写成,证明：,矢量函数的线积分与面积分的互换。,该公式表明了区域 S 中场F 与边界 l 上的场F 之间的关系,在电磁场理论中，Gauss 定理和 Stockes 定理 是两个非常重要的公式。,3 格林公式,设,应用高斯定理,将 和 的位置交换，得,（2）,（1）式与（2）式相减，即得格林第二公式,