,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、正项级数及其审敛法,若,显然：正项级数的部分和数列,是单调增加数列 ，,即：,由数列极限的存在定理知：,如果部分和数列,否则，它发散。,有上界，,则称,为正项级数 .,则它收敛；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1. 正项级数,收敛的充要条件是：,部分和数列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛 ,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (比较审敛法),设：,有：,(1) 若级数,则级数,(2) 若级数,则级数,则有：,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,设,因为:,所以：,（1）如果级数 收敛，,则 有界，,因此 也有界.,所以，级数 收敛,设,因为:,所以：,（2）如果级数 发散，,因此 也无界，,则 无界.,所以，级数 发散,例1. 讨论 p 级数:,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令:,2)当,1,2,3,4,n,1,所以 Sn 有界，p 级数收敛。,综上所述：,当 p 1 时， 收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当 p 1 时， 发散,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有:,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足:,(1) 当 0 l + 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知:,的敛散性.,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则:,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 当,时,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数可能收敛,也可能发散.,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据 定理4 可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级数，,则：,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据 定理5 可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根值判别法失效,但此时，有,级数发散 ;,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：判断级数 的敛散性,解：（1）因为,（2）,= 0,由交错级数审敛法：,收敛,例2：判断级数 的敛散性,解：,（2）,= 0,条件（1）用导数来判断,设函数,当 时，,即函数 单调减小。,由此可以推得：,由交错级数审敛法：,收敛,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,故原级数发散 .,不是 p级数,(2),发散 ,故原级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,