正项级数及其审敛法 交错项级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 小结,第二节 常数项级数的审敛法,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,显然部分和数列 为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,解,由图可知,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,解,原级数发散.,故原级数收敛.,的敛散性.,例3. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,二、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,内容小结,2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,3. 任意项级数和交错级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,作业,P268 习题12-2 1（1）（3）（5） 2（1）（3）； 4（1）（3）（5） 5（1）（2）,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,练习题答案,