大地测量学基础,第九讲 椭球面三角形的解算,一系大地测量教研室,一、椭球面三角形解算公式,地面三角锁网经过归算以后，得到了椭球面上以大地线组成的三角锁网。为了在椭球面上推算各点的大地坐标，就必须知道边长；在概略计算的过程中，为了计算球面角超和归心改正，也要求出各边的近似球面边长。这就需要进行椭球面上三角形解算。,第九讲 椭球面三角形的解算,设有椭球面三角形ABC，三边都 是大地线，如图所示。它的内角为A、B、C。边他为a、b、c。椭球面三角形的解算公式，推导比较冗繁，这里不加推导，直接给出结果：,C,A,B,a,b,c,(3.45),一、椭球面三角形解算公式,式中,第九讲 椭球面三角形的解算,（3.45）式就是椭球面三角形的正弦定理，式中：KA、KB、KC是各顶点的高斯曲率,(3.46),K是三顶点的平均高斯曲率：,一、椭球面三角形解算公式,第九讲 椭球面三角形的解算,RA 、 RB 、 RC是各顶点的平均曲率半径，R是三顶点的平均纬度处的平均曲率半径,K是三顶点的平均高斯曲率：,由于椭球面上各点的曲率不同，因而在这个面上解算三角形就比较复杂。鉴于地球椭球的扁率很小，通常大地测量中所组成的椭球面三角形的边长又较小，在这种情况下，可以把椭球面三角形当作球面三角形来看待。,一、椭球面三角形解算公式,第九讲 椭球面三角形的解算,如果各点的曲率相同，椭球就变成球，式中：,椭球面角A、B、C变成球面角A0、B0、C0，于是（3.45）式就变成球面三角的正弦定理：,即,(3.49),二、化为球面三角形解算的条件,第九讲 椭球面三角形的解算,我们以椭球面三角形ABC三顶点平均纬度处的平均曲率半径R为半径作一辅助球，用来代替椭球，称为密切球。在球面上作与ABC对应边相等的球面三角形A0B0C0。研究椭球面三角形和球三角形对应角的关系：,比较（3.45）式和（3.49）式，可得：,(3.50),二、化为球面三角形解算的条件,第九讲 椭球面三角形的解算,如图所示，设为三角形ABC的面积，为三角形的球面角超，则有,球面三角形,(3.51),A0,B0,C0,a,c,b,二、化为球面三角形解算的条件,第九讲 椭球面三角形的解算,将（3.51）式代入（3.50）式可得,球面三角形,(3.52),A0,B0,C0,a,c,b,二、化为球面三角形解算的条件,第九讲 椭球面三角形的解算,从实际三角网解算问题分析可以得出如下结论（即椭球面三角形当球面三有形解算的条件）,球面三角形,A0,B0,C0,a,c,b,1.精度要求为角度误差小于0.001秒，连长误差小于0.001米 2.三角形各边长小于200公里 3.球的半径取三顶点平均纬度处的平均曲率半径 4.如果边长为200400公里，应将椭球面三角形的各角加 上 椭球面改正数，化为球面三角形。,三、勒让德定理,第九讲 椭球面三角形的解算,定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。,球面三角形与平面三角形的关系,三、勒让德定理,第九讲 椭球面三角形的解算,如图所示， A0B0C0是球面三角形，球面角超为 ；另外一平面三角形A1B1C1 ，它们的对应边相等，设为a、b、c。依勒让德定理，平面三角形的角度与球面三角形的角度有以下关系：,式中,(3.53),四、应用勒让德定理解算球面三角形,第九讲 椭球面三角形的解算,在球面三角形中，设A0、B0、 C0为已知角， a为已知边， b 、 c为所求边。依勒让德定理解算球面三角形时，首先按上式计算平面三角形各内角A1、B1、 C1 ，进而按平面三角正弦定理解算：,勒让德定理的特点是：不改变球面三角形边长，但改变它的角度，运用平面公式解算，得到的边长就是球面边长。,(3.61),这样算得的边长就是所求的球面边长。,