一、平面的确定条件,返回,下一页,上一页,空间平面方程,三、平面的一般方程,二、点法式方程,四、两平面夹角,一、平面的确定条件,由立体几何知道，过空间一点可以而且只可以作一个垂直于一条已知直线的平面利用这个结论，若平面经过一定点M0(x0,y0,z0), 且与向量n=A,B,C垂直,则这个平面就唯一确定了,与平面垂直的非零向量称为该平面的法向 量那么，可以确定平面的两个条件是：,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,下面我们利用以上结论建立平面的方程,现在来建立平面 的方程.,设平面 过点,是平面 的法向量.,在平面 上任取一点 M(x, y, z)，则点 M 在平面 上的充要条件是,n,M,M0,二、 点法式方程,返回,下一页,上一页,该方程称为平面 的点法式方程.,所以有,返回,下一页,上一页,例 5-10,求过点(2, 1, 1)且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程 .,解,所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ，,又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得,该平面方程为,即 x + 2y + 3z7 = 0 .,返回,下一页,上一页,解,所求平面方程为,化简得,返回,下一页,上一页,取,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,三、平面的一般方程,返回,下一页,上一页,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形,返回,下一页,上一页,例 5-12,设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程.,解,因为所求平面通过 x 轴，,所以可设它的方程为,By + Cz = 0 .,由于点 M 在所求的平面上，,因此有,3B C = 0 ，,将 C = 3B 代回方程 ，并简化，即得所求平面方程为,y 3z = 0,返回,下一页,上一页,设平面,两平面法向量的夹角,称为两平面的夹角.,它们的夹角为 .,四、两平面的夹角,返回,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,则平面1、2 垂直的充要条件是,A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；,平行的充要条件是,例 5-13,求两平面 x y + 2z + 3 = 0,与2x + y + z 5 = 0 的夹角 .,解,由公式 得,返回,下一页,上一页,