专题九 圆,圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容它 综合直线、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极强的综 合性，对学生思维能力要求较高这类试题通常借助圆的对称性 和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其是切 线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、圆锥等) 的计算、作图、证明与探究,解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角形、 四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等，添加适 当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三角形，或 将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解决,与圆有关的计算、操作题 例 1：如图 Z9-1，ABC 是O 内接正三角形，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 30得到DEF，DE 分别交 AB，AC 于点 M， N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论： DQN30；DNQANM； DNQ 的周长等于 AC 的长；NQQC. 其中正确的结论是_( 把所有,正确的结论的序号都填上),图 Z9-1,AOE90.ADE AOE45.,解析：DF 是 AC 旋转 30后的位置， DQN30.故正确 如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA， BOE30.又AOB120，,图 Z9-2,在DNQ 中，DQN30，EDQ60， DNQ90.AND90. 在 RtAND 中，NAD45.ANDN. 又MANQDN60，ANMDNQ， DNQANM(ASA)故正确,如图 Z9-2，DF 交 BC 于点 G，连接 OD，DC. 由，得 DNNA. 同理，得CDF15. 在CQD 中，DQQC. DNQ 周长 DNNQQDANNQQCAC.故 正确,答案：,名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力，对几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力,圆与函数图象的综合 例 2：如图 Z9-3，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B. (1)求证：线段 AB 为P 的直径； (2)求AOB 的面积；,(3)如图 Z9-4，Q 是反比例函数 y,12 x,(x0)图象上异于点 P,的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C，D.求证：DOOCBOOA.,图 Z9-3,图 Z9-4,思路分析：(1)AOB90，由圆周角定理的推论，可以证 明 AB 是P 的直径； (2)将AOB 的面积用含点 P 坐标的表达式表示出来，容易 计算出结果； (3)对于反比例函数上另外一点 Q，Q 与坐标轴所形成的 COD 的面积，依然不变，与AOB 的面积相等,(1)证明：AOB90，且AOB 是P 中弦 AB 所对的 圆周角， AB 是P 的直径 (2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m0，n0)，,点 P 是反比例函数 y,12 x,(x0)图象上一点，,mn12. 如图Z9-5，过点P 作PMx 轴于点M，PN,y 轴于点 N，则 OMm，ONn.,图Z9-5,由垂径定理，可知：点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点， OA2OM2m，OB2ON2n.,DOOCBOOA.,名师点评：求三角形的面积就是利用点 P 的横坐标与纵坐 标的积为 k，同理若反比例函数系数为 k，则可以证明P 在坐 标轴上所截的两条线段的乘积等于 4k；对于另外一点 Q 所形成 的Q，结论依然成立,与圆有关的动态题,例 3：半径为 2 cm 的O 与边长为 2 cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，O 与 l 相切于点 F，DC 在 l 上,(1)过点 B 作O 的一条切线 BE，E 为切点，,填空：如图 Z9-6，当点 A 在O 上时，EBA 的度数是,_；,如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一条直线上时，求线段,OA 的长；,(2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置， 向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M， N 分别是边 BC，AD 与O 的公共点，求扇形 MON 的面积的 取值范围,图 Z9-6,图 Z9-7,图 Z9-8,解：(1)如图 Z9-6，切线 BE 是O 的切线， OEBE 于 E.,又 OAABOE2，易得EBA30. 如图 Z9-7，直线 l 与O 相切于 F， OFD90.,在正方形 ADCB 中，ADC90，OFAD. OFAD2，四边形 OFDA 为平行四边形 OFD90，平行四边形 OFDA 为矩形 DAAO.,在正方形 ABCD 中，DAAB， O，A，B 三点在同一条直线上 方法一，E，A，D 三点在同一条直线上， EAOB. OEB90，OEBEAO. 又EOBAOE，EOABOE.,(2)如图 Z9-9，设MONn， 图 Z9-9,S 随 n 的增大而增大 当MON 取最大值时，S扇形M ON最大 过点 O 作 OKMN 于 K， MON2NOK，NM2NK.,NOK 随 NK 的增大而增大，MON 随 MN 的增大而增大 当 MN 最大时，MON 最大，当 MN 最小时，MON 最小,当 N，M，A 分别与 D，B，O 重合时，MN 最大 MNBD，MONBOD90，S扇形M ON最大. 当 MNDC2 时，MN 最小 ONMNOM.NOM60.,名师点评：解题的关键在于运用运动和变化的眼光，去观 察和研究问题，关注运动与变化中的不变量、不变关系、特殊 关系或范围,