资源预览内容
第1页 / 共53页
第2页 / 共53页
第3页 / 共53页
第4页 / 共53页
第5页 / 共53页
第6页 / 共53页
第7页 / 共53页
第8页 / 共53页
第9页 / 共53页
第10页 / 共53页
亲,该文档总共53页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
弹性力学,主讲 :张 盛 能源科学与工程学院,2-5 物理方程 弹性模量, 泊松比 2-6 边界条件 应力边界,位移边界,混合边界 2-7 圣维南原理 静力等效, 原理应用,上讲回顾(引言),2,2019/1/14,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,(2-2),2. 几何方程,(2-9),3. 物理方程,(平面应力问题),(2-15),4. 边界条件,位移:,(2-17),应力:,(2-18),例7,图示矩形截面水坝,其右侧受静水压力,顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面:,代入应力边界条件公式,右侧面:,代入应力边界条件公式,有,上端面:,为次要边界,可由圣维南原理求解。,y方向力等效:,对O点的力矩等效:,x方向力等效:,注意:,必须按正向假设!,上端面:,(方法2),取图示微元体,,可见,与前面结果相同。,由微元体的平衡求得,,2-8 按位移求解平面问题 2-9 按应力求解平面问题 相容方程 (重点) 2-10 常体力情况下的简化,本讲主要内容,6,2019/1/14,2-8 按位移求解平面问题,2019/1/14,ZS,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,(2-2),2. 几何方程,(2-9),3. 物理方程,(平面应力问题),(2-15),4. 边界条件,位移:,(2-17),应力:,(2-18),2、弹性力学问题的求解方法,(1)按位移求解(位移法、刚度法),以u、v 为基本未知函数,将平衡方程和边界条件都用u、v 表示,并求出u、v ,再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,(2)按应力求解(力法,柔度法),以应力分量 为基本未知函数,将所有方程都用应力分量表示,并求出应力分量 ,再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,(3)混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数,将,并求出这些未知量,再求出其余未知量。,3、按位移求解平面问题的基本方程,(1)将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入,有,(2-19),(a),将式(a)代入平衡方程,化简有,(2-20),(2)将边界条件用位移表示,位移边界条件:,应力边界条件:,(a),将式(a)代入,得,(2-21),(2-17),式(2-20)、(2-17)、(2-21)构成按位移求解问题的基本方程,说明:,(1)对平面应变问题,只需将式中的E、作相替换即可。,(2)一般不用于解析求解,作为数值求解的基本方程。,(3)按位移求解平面问题的基本方程,(1)平衡方程:,(2-20),(2)边界条件:,位移边界条件:,(2-17),应力边界条件:,(2-21),相容方程,2-9 按应力求解平面问题,2019/1/14,ZS,1、变形协调方程(相容方程),按应力求解平面问题的未知函数:,(2-2),平衡微分方程:,2个方程方程,3个未知量,为超静定问题。,需寻求补充方程,,从形变、形,变与应力的关系建立补充方程。,将几何方程:,(2-9),作如下运算:,显然有:,(2-22), 形变协调方程(或相容方程),即: 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调,才能求得这些位移分量。,例:,其中:C为常数。,由几何方程得:,积分得:,由几何方程的第三式得:,显然,此方程是不可能的,因而不可能求出满足几何方程的解。,2、变形协调方程的应力表示,(1)平面应力情形,将物理方程代入相容方程,得:,(2-22),利用平衡方程将上述化简:,(a),将上述两边相加:,(b),将 (b) 代入 (a) ,得:,将 上式整理得:,(2-23),应力表示的相容方程,(2)平面应变情形,将 上式中的泊松比代为: , 得,(2-24),(平面应力情形),应力表示的相容方程,(平面应变情形),注意:,当体力 fx、fy 为常数时,两种平面问题的相容方程相同,即,(2-25),3、按应力求解平面问题的基本方程,(1)平衡方程,(2)相容方程(形变协调方程),(2-23),(3)边界条件:,(平面应力情形),说明:,(1)对位移边界问题,不易按应力求解。,(2)对应力边界问题,且为单连通问题,满足上述方程的解是唯一正确解。,(3)对多连通问题,满足上述方程外,还需满足位移单值条件,才是唯一正确解。,例8: 例9:图示矩形截面悬臂梁,在自由端受集中力P作用,不计体力。试根据材料力学公式,写出弯曲应力 和剪应力 的表达式,并取挤压应力 =0,然后说明这些表达式是否代表正确解。,课堂练习与讨论,2019/1/14,ZS,例8,下面给出平面应力问题(单连通域)的应力场和应变场,试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场(不计体力)。,(1),(2),解,(a),(b),(1),将式(a)代入平衡方程:, 满足,将式(a)代入相容方程:, 式(a)不是一组可能的应力场。,(2),解,将式(b)代入应变表示的相容方程:,式(b)满足相容方程,(b)为可能的应变分量。,例9,图示矩形截面悬臂梁,在自由端受集中力P作用,不计体力。试根据材料力学公式,写出弯曲应力 和剪应力 的表达式,并取挤压应力 =0,然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答:,式(a)满足平衡方程和相容方程?,(a),式(a)是否满足边界条件?,代入平衡微分方程:,显然,平衡微分方程满足。,式(a)满足相容方程。,再验证,式(a)是否满足边界条件?, 满足,满足,近似满足,近似满足,结论:式(a)为正确解,代入相容方程:,上、下侧边界:,右侧边界:,左侧边界:,例7,图示矩形截面水坝,其右侧受静水压力,顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面:,代入应力边界条件公式,右侧面:,代入应力边界条件公式,有,上端面:,为次要边界,可由圣维南原理求解。,y方向力等效:,对O点的力矩等效:,x方向力等效:,注意:,必须按正向假设!,2-10 常体力情况下的简化,2019/1/14,ZS,1、常体力下平面问题的相容方程,令:, 拉普拉斯(Laplace)算子,则相容方程可表示为:, 平面应力情形, 平面应变情形,当体力 X、Y 为常数时,两种平面问题的相容方程相同,即,或,(2-25),2、常体力下平面问题的基本方程,(1)平衡方程,(2)相容方程(形变协调方程),(3)边界条件,(2-18),(4)位移单值条件, 对多连通问题而言。,讨论:,(1), Laplace方程,,或称调和方程。,(2),常体力下,方程中不含E、,(a),(b),不同材料,具有相同外力和边界条件时,其计算结果相同。, 光弹性实验原理。,(3),用平面应力试验模型,代替平面应变试验模型,为实验应力分析提供理论基础。,3、常体力下体力与面力的变换,平衡方程:,相容方程:,边界条件:,令:,常体力下, 满足的方程:,(a),将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件,有,(b),(c),表明:,(1)变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程(容易求解);,(2)变换后问题的边界面力改变为:,结论:,课堂练习与讨论,2019/1/14,ZS,例10:,p,图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题:,体力:,边界面力:,所求应力:,变换后的问题:,体力:,边界面力:,(1) 当 y = 0 时,,(2) 当 y = h 时,,(3) 当 y = 2h 时,,所求得的应力:,原问题的应力,常体力下体力与面力转换的优点(好处):,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用:,(1),方便分析计算(齐次方程易求解)。,(2),实验测试时,一般体力不易施加,可用加面力的方法替代加体力。,注意:,面力变换公式: 与坐标系的选取有关,,因此,适当选取坐标系,可使面力表达式简单。,(1)按位移求解基本方程,(2)按应力求解平面问题的基本方程,相容方程,应力表示的相容方程,按应力求解的基本方程,常体力下可以简化:,求解方法?,逆解法与半逆解法,应力函数解法,2019/1/14,ZS,常体力下问题的基本方程:,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(a)为非齐次方程,其解:,全解 = 齐次方程通解,1、平衡微分方程解的形式,(1) 特解,常体力下特解形式:,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2) 通解,式(a) 的齐次方程:,(c),(d),的通解。,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论,必存在一函数 A(x,y),使得,(e),(f),同理,将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式( f )与(h),有,也必存在一函数 B(x,y),使得,由微分方程理论,必存在一函数 (x,y),使得,(i),(j),将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h),得通解,(k), 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3) 全解,取特解为:,则其全解为:,(2-26), 常体力下平衡方程(a)的全解。,由式(2-26)看:不管(x,y)是什么函数,都能满足平衡方程。,(x,y) 平面问题的应力函数, Airy 应力函数,2、相容方程的应力函数表示,将式(2-26)代入常体力下的相容方程:,(2-25),有:,注意到体力fx、 fy 为常量,有,将上式展开,有,(2-27), 应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式(2-27)可简记为:,或:,式中:,满足方程(2-27)的函数(x,y) 称为重调和函数(或双调和函数),结论:,应力函数应为一重调和函数,按应力求解平面问题(fx = 常量、fy = 常量)的归结为:,(1),(2-27),(2),然后将 代入式(2-26)求出应力分量:,先由方程(2-27)求出应力函数:,(2-26),(3),再让 满足应力边界条件和位移单值条件(多连体问题)。,3. 应力函数 求解方法,(2-28),(无体力情形),3. 应力函数 求解方法,(1),逆解法,(1),根据问题的条件,(几何形状、受力特点、边界条件等),,假设各种满足相容方程(2-27)的(x,y) 的形式;,(2), 主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式(2-26),求出 (具有待定系数);,(3),再利用应力边界条件式(2-18),来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题,从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,(1),根据问题的条件,(几何形状、受力特点、边界条件等),,假设部分应力分量 的某种函数形式 ;,(2),根据 与应力函数(x,y)的关系及 ,求出(x,y) 的形式;,(3),最后利用式(2-26)计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础:数理方程中分离变量法。,第二章小结,2019/1/14,ZS,1.,两类平面问题:,平面应力问题;平面应变问题。,(两类平面问题中基本方程的异同),2.,平面问题的基本方程:,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件(位移、应力)。,(几何特点、受力特点、应力或应变特点),3.,平面问题的求解,(1),按位移求解平面问题,(2),按应力求解平面问题,基本方程:,(1)用位移表示的平衡微分方程;,(2)用位移表示的应力边界条件;,(3)边界条件:应力、位移边界条件。,相容方程(形变协调方程):,(应变表示形式、应
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号