第三章：微机保护的算法 傅里叶级数算法,张沛超 2011,1,傅里叶级数算法,从正交分解角度理解傅里叶级数算法 从滤波器角度理解傅里叶级数算法 各种算法的统一,2,误差矢量,系数,两矢量正交,怎样分解，能得到最小的误差分量？,方式不是唯一的：,一矢量的正交分解,二正交函数,误差,系数,三正交函数集,傅立叶算法,傅立叶算法，是目前各种电压等级保护的主要算法之一，也是基于波形的算法，其重要性不言而喻。 周期函数分解为傅立叶级数： 周期为T，角频率为的周期函数 f ( t ) 可表示为 当其满足狄里克雷条件即： f ( t ) 在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点； f ( t ) 在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值； 在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，,傅立叶算法电气量一般表示,傅立叶级数，周期性时间函数，可以分解为直流分量和各次谐波分量的叠加 分别为直流、基波和各次谐波的正弦项和余弦项的振幅,是一个完备的正交函数集。此式本质是正交函数分解,就是正交函数分解中的系数:,傅立叶算法示例,将周期为2pi的方波做傅里叶级数展开。 y1(t)：方波； y2(t)：展开至10阶傅里叶级数,相量表示,9,基波分量（假设为正弦信号。余弦同）：,根据傅立叶级数原理，可以求出基波分量正弦项和余弦项系数 (3-43) (3-44) 于是基波分量为,傅立叶算法基波分量,傅立叶算法求取a1,b1,计算机求（343）（344）式要用梯形法求 （350） （351） 式中： 基波信号一个周波采样点数 第k次采样值 k0和 k=N 时得采样值,11,傅立叶算法求取a1,b1,思考：如果用矩形积分法，则求取a1,b1的公式如何写？,12,计算机具体计算公式,常用采样频率为600Hz，采样点数为12点/周波 时，正弦和余弦的系数表如下,计算机具体计算公式,简化后的实际计算公式为： 其中： 表示k0,1,2.,N时刻的采样值,相量的旋转性,若x(r)为周期函数，则有：,所以，利用上述算法，得到是一个旋转相量。,观察此公式，是否可以得出傅里叶算法的递推形式？,非旋转相量,若x(r)为周期函数，则有：,而如果将积分公式修改为：,这是PMU(Phasor Measurment Unit)的基本算法,观察此公式，是否可以得出傅里叶算法的递推形式？,Matlab仿真,17,傅氏算法的优点,傅氏算法是继电保护算法的基础。在各种原理的微机保护中被广泛采用； 当输入信号中仅含有直流分量和整数次谐波分量时，傅氏算法能精确获得基波（或某次谐波）的幅值和相角。,傅氏算法的问题,信号中往往含有衰减的非周期分量。解决方案：设计计及衰减非周期分量的傅氏算法，如基本的差分滤波器； 信号中可能含有分数次谐波。对于函数系 ，若m、n不为整数，则不再是正交函数系，由此积分后也会产生误差。解决方案：利用50Hz带通滤波器可以消除或抑制大部分分数次谐波； 全波傅氏数据窗为一个基频周波，对于高速保护而言速度太慢，应设法缩短数据窗；但短窗傅式算法又存在精度不够、暂态响应差的问题。因此，如何兼顾精度和处理时间？ 电网异常（如振荡）时系统频率不再是50Hz，若采样频率fs仍固定，则每周波采样点数发生变化，导致不再是整周波（或其他积分长度）积分。解决方案：实现频率跟踪模块。,从数字滤波器的角度看待傅氏算法,为了解决傅氏算法存在的这些问题，都要求我们分析傅氏算法的频率响应。也即，要从数字滤波器的角度去看待傅氏算法。 研究相关函数和卷积之间的关系，可以帮助我们研究傅氏算法的滤波效果。,20,b1与卷积的关系,21,a1与卷积的关系,22,恍然大悟？！,23,相移差90度的两组滤波器,了解,相关函数与卷积的关系,24,Matlab仿真,25,几种相量算法的比较,26,傅氏算法 数据窗=1周波,两点法 数据窗=1.25周波,导数法 数据窗1周波,各种算法的频率响应,27,2点法的频率响应,28,傅氏算法的频率响应,29,傅氏算法滤除直流分量的能力,30,傅氏算法滤除直流分量的能力,31,实际使用的傅氏算法。,半周傅氏算法：时间窗缩短一半，对快速切除出口故障有益。 带差分的傅氏算法：一定程度上消除衰减非周期分量对傅氏算法的影响。 递推的傅氏算法：大大降低计算量。,32,