,二、分部积分法,第三节,一、换元积分法,两种基本积分法,第三章,第二类换元法,基本思路,第一类换元法,设,可导,则有,第一类换元法,1. 不定积分的换元法则(I),定理3.1,(也称配元法, 凑微分法),即,值域含于f 的定义域，则,有连续的导数，且,例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,注意换回原变量,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接配元),例4. 求,解:,类似,例5. 求,解:, 原式 =,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解:,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解: 原式 =,例10 求,解法1,解法2,两法结果一样,例11. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,例12. 求,解: 原式 =,例13 . 求,解:,例14. 求,解:,原式 =,例15. 求,解: 原式 =,分析:,例16. 求,解: 原式,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业,不定积分的换元法则II,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理3.2 设,是连续函数, 有连续的导数，且,证:,则,例1. 求,解: 令,则, 原式,例2. 求,解: 令,则, 原式,例3. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,说明:,1. 被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,或,代换外, 还可利用公式,2. 两个常用双曲函数积分公式,例4. 求,解: 令,则,原式,例5. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,原式,例6. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,2. 常用基本积分公式的补充,7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换,令,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,三角函数有理式的积分,则,例7. 求,解: 令,则,3. 定积分的换元法,定理3.3 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2 计算,解,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,证,（1）设,（2）设,