第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,*三、全微分方程,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1,即,同理可证,、两式相加得:,定理1,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,定理1,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,定理1,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,例3. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),定理2,(2) (3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,定理2,(3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,定理2,(4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,定理2,说明:,根据定理2 , 若在某区域D内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定理2,4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲,定理2,注: 此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4).,它类似于微积分基本公式:,例4. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,例6. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,例7. 设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,思考: 积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关 !,内容小结,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,*三、全微分方程,则称,为全微分方程.,例8. 求解,解: 因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,法1,法2 此全微分方程的通解为, 则有,两边对 y 求导得,由得,与比较得,因此方程的通解为,例9. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例9 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,注:若存在连续可微函数,积分因子.,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,为全微分方程,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,2. 设,提示:,第四节,作业:4-9,