,2 一元函数积分学,5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线 7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线 13 阿基米德螺线 14 双曲螺线,主 目 录（125 ）,15,16,2,3,1 曲边梯形的面积,4 曲边扇形的面积,19 平行截面面积为已知的立体的体积。 20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得 一圆柱楔。求其体积。 21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正 劈锥体的体积。 22 旋转体体积(y =f(x)绕x轴) 23 旋转体体积(x =g(y)绕y轴） 24 旋转体体积（柱壳法） 25 旋转体的侧面积,18,17,求由双纽线,内部的面积。,.,元素法,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,y=f (x),.,.,分法越细，越接近精确值,1. 曲边梯形的面积,f (i),.,元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,1. 曲边梯形的面积,.,f (i),元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,1. 曲边梯形的面积,.,f (i),S =,.,S,.,2,。,。,2.,4,4,4,解方程组：,得交点：(8, 4)， (2,2),问题：选谁为积分变量？,。,。,3.,3,3,得两切线的斜率为,故两切线为,其交点的横坐标为,。,。,S =,l1,l2,( ),d,o, +d,r =( ),元素法,1 取极角为积分变量， 其变化区间为,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：,.,.,4. 曲边扇形的面积,dS,S,3 作定积分,.,r,a,圆上任一点所画出的曲线。,5. 旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，,来看动点的慢动作,圆上任一点所画出的曲线。,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,5. 旋轮线,2a,2a,a,x = a (t sint) y = a (1 cost),t 的几何意义如图示,t,a,当 t 从 0 2，x从 0 2a,即曲线走了一拱,a,圆上任一点所画出的曲线。,5. 旋轮线,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,6. 旋轮线也叫摆线,单摆,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,.,单摆,6. 旋轮线也叫摆线,单摆,.,6. 旋轮线也叫摆线,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。,单摆,.,6. 旋轮线也叫摆线,x=a (t sint) y=a (1 cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),7. 旋轮线是最速降线,生活中见过这条曲线吗？,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),.,生活中见过这条曲线吗？,7. 旋轮线是最速降线,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),生活中见过这条曲线吗？,7. 旋轮线是最速降线,.,x=a (t sint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B， 当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a (1 cost),生活中见过这条曲线吗？,滑板的轨道就是这条曲线,7. 旋轮线是最速降线,.,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,8. 心形线,(圆外旋轮线),a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,8. 心形线,(圆外旋轮线),a,a,a,2a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),8. 心形线,2a,r = a (1+cos ),0 2,0 r 2a,P,r,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),8. 心形线,a, a,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,9. 星形线,(圆内旋轮线),a, a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,9. 星形线,(圆内旋轮线),a, a,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,来看动点的慢动作,.,9. 星形线,(圆内旋轮线),a, a,0 2,或,.,P,.,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,9. 星形线,(圆内旋轮线),一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,a,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,.,a,10. 圆的渐伸线,再看一遍,.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),试由这些关系推出曲线的方程,.,一直线沿圆周滚转（无滑动） 直线上一个定点的轨迹,10. 圆的渐伸线,1. 曲线关于 y= x 对称,2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0,分析,3. 令 y = t x, 得参数式,故在原点，曲线自身相交.,11.狄卡儿叶形线,4.,x+y+a = 0,曲线关于 y= x 对称,曲线有渐近线 x+y+a=0,.,11.狄卡儿叶形线,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =,.,.,.,.,.,距离之积为a2的点的轨迹,直角系方程,12. 双纽线,.,所围面积,.,.,.,由对称性,.,12. 例,求双纽线,0,r,r =a,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,13. 阿基米德螺线,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,.,13. 阿基米德螺线,r =a,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,再看一遍,请问：动点的轨迹什么样？,.,13. 阿基米德螺线,r =a,0,r,.,13. 阿基米德螺线,r =a,0,r,r =a,.,13. 阿基米德螺线,0,r,r =a,.,13. 阿基米德螺线,r,这里 从 0 +,8,r =a,0,2a,每两个螺形卷间沿射线的距离是定数,.,13. 阿基米德螺线,0,r,8,当 从 0 ,r =a,.,13. 阿基米德螺线,r,0,.,这里 从 0 +,8,.,.,14. 双曲螺线,r,0,.,当 从 0 ,8,.,14. 双曲螺线,15.,2,.,.,S =, =1+cos,3,r =3cos,由 3cos =1+cos,得交点的坐标,S,2,.,.,.,.,.,.,.,16.,1,令 cos2 = 0,由 sin 0,联立后得交点坐标,.,.,.,S = 2,.,17.,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,s,S =, =1+cos,求由双纽线,.,.,.,.,由对称性,.,18.,a,内部的面积。,双纽线化成极坐标,令 r = 0,S =,4,+,.,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,以下是几个例子,19. 平行截面面积为已知的立体的体积,b,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,o,x,y,20.,o,y,R,x,R,R,20.,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,问题： 还有别的方法吗？,(x, y),截面积,A(x),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,20.,.,o,y,R,x,R,R,方法2,.,20.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x, y),= 2x,= ytan,.,S(y),.,20.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,x,o,y,R,21.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。,R,x,o,x,A(x),A(x),V =,.,.,.,.,R,y,21.,.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为h的正劈锥体的体积。,y,f(x),a,