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资源描述
微分方程,微分方程及其应用,微分方程复习,一阶方程类型及解法,例1求下列分离变量型方程:,例2求下列齐次型方程:,一阶线性方程计算公式,例3求下列一阶线性方程的通解,例7.试将贝努利方程,化为一阶线性方程,并求方程,的通解,例8.验证下列方程是否为全微分方程, 并求其通解:,二阶方程类型及解法,1。可降阶的两种类型,类型1.不显含y型,,类型2.不显含x型,,解法:,解法,2.二阶线性齐次方程解的性质与结构:,性质:(叠加原理):二阶线性齐次 方程任意解的线性组合仍是解,即,如果:,是方程,也是其解,的解,则,的任意两个线性无关的解,则,就是其通解,解的结构:如果,是方程,3二阶线性非齐次方程解的性质与结构:,性质1:二阶线性非齐次方程任意 两个解的差是其对应齐次方程的解,性质2:二阶线性非齐次方程的解与其对 应齐次方程的解的和仍是非齐次方程的解,解的结构定理:设Y是二阶齐次线性方程,的通解,而,是,二阶非齐次线性方程任一特解,则,便是非齐次方程的通解,二阶线性非齐次方程解的叠加原理:,设,是方程,的解,是方程,的解,则,便是方程,的解,注:显然叠加原理可推广到任意有限个的情况,二阶线性常系数齐次方程的解法: 特征方程法,解法步骤:(1)由原方程,写出相应的特征方程,(2)求出特征根,(3)由特征根写出原方程的通解,特征根与方程通解对照表:,例求下列线性常系数齐次方程的通解,二阶常系数线性非齐次方程特解求法:,类型1,其特解形式为,是特征方程的单根时k取1,是特征方程的二重根时k取2,不是特征方程的根时k取0,例求下列方程特解的形式,类型2,或,其特解形式为,不是特征方程的根时k取0,是特征方程的根时k取1,例求下列方程特解的形式,例利用叠加原理求下列方程的通解,
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