微分方程,微分方程及其应用,微分方程复习,一阶方程类型及解法,例1求下列分离变量型方程：,例2求下列齐次型方程：,一阶线性方程计算公式,例3求下列一阶线性方程的通解,例7.试将贝努利方程,化为一阶线性方程，并求方程,的通解,例8.验证下列方程是否为全微分方程， 并求其通解：,二阶方程类型及解法,1。可降阶的两种类型,类型1.不显含y型，,类型2.不显含x型，,解法：,解法,2.二阶线性齐次方程解的性质与结构：,性质：（叠加原理）：二阶线性齐次 方程任意解的线性组合仍是解，即,如果：,是方程,也是其解,的解，则,的任意两个线性无关的解，则,就是其通解,解的结构：如果,是方程,3二阶线性非齐次方程解的性质与结构：,性质1：二阶线性非齐次方程任意 两个解的差是其对应齐次方程的解,性质2：二阶线性非齐次方程的解与其对 应齐次方程的解的和仍是非齐次方程的解,解的结构定理：设Y是二阶齐次线性方程,的通解，而,是,二阶非齐次线性方程任一特解，则,便是非齐次方程的通解,二阶线性非齐次方程解的叠加原理：,设,是方程,的解,是方程,的解，则,便是方程,的解,注：显然叠加原理可推广到任意有限个的情况,二阶线性常系数齐次方程的解法： 特征方程法,解法步骤：（1）由原方程,写出相应的特征方程,（2）求出特征根,（3）由特征根写出原方程的通解,特征根与方程通解对照表：,例求下列线性常系数齐次方程的通解,二阶常系数线性非齐次方程特解求法：,类型1,其特解形式为,是特征方程的单根时k取1,是特征方程的二重根时k取2,不是特征方程的根时k取0,例求下列方程特解的形式,类型2,或,其特解形式为,不是特征方程的根时k取0,是特征方程的根时k取1,例求下列方程特解的形式,例利用叠加原理求下列方程的通解,