6 等积变形有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗？ 根据这个问题，你能得出什么结论？结论一： 。思维探索例1：你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？即学即练如图，把ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？例2：如下图所示，在ABE中，有BC=1，CD=DE=2，如果ABC的面积是a，ABE的面积是多少？如果ACD的面积是b，那么ABD的面积是多少？ 即学即练 如图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点。已知三角形DEF的面积是6平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？:思维探索例3：（平行线间的等积变形）如下图，ACD和BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么ACD和BCD的面积关系是怎样的？为什么？结论拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等例4：如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？即学即练 如下图，在梯形ABCD中，梯形ABCD的面积是20，ABC的面积是15，ABD的面积是多少？融会贯通例5： 如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果AED的面积是30平方厘米求ABC的面积？即学即练如下图，在ABC中，D、E是所在边的中点，如果ABC的面积是4，那么CDE的面积是多少？例6：如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？即学即练在边长为6厘米的正方形中有一点P，将点P分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。练习册知识导航一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（1） 等底等高的两个三角形面积相等；（2） 底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等；（3） 若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。数海拾贝1. 你能用四种方法将任意一个三角形分成面积相等的四部分吗？2.把ABC分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的2倍，丙的面积是甲的面积的4倍3.如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和（单位：厘米）4.-个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形底长的2倍，这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？5.如下图，在ABC中，D是AB的三等分点，E是CD的三等分点，F是CE的三等分点，AEF的面积是5，那么ABC的面积是多少？6.如图，在ABC中，BE=2EC，AD =BD，已知ABC的面积是18平方厘米，求四边形ADEC的面积7.在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点如果BEF的面积是1，则平行四边形ABCD的面积是多少？8.如图，ABC的面积为1，延长AB到E，使BE=2AB；延长BC到D，使C为BD的中点，求BED的面积。 28等底等高等面积 在上个世纪的80年代，在计算机证明的这个领域内一下子有了突破性的进展，这是因为张景中院士创建了几何定理可读证明自动生成的理论和算法，并由此研制了世界上第一个能够自动产生几何定理可读证明的软件这个软件能够在微机上快速地进行几何定理证明、计算和发明新的定理，给出的推理演算或证明过程中有几何意义，易于理解，可以和人类手工证明相媲美这一成果使国外科学家经多年努力而进展甚微的难题获得重大突破 其实，这套理论用到一条很原始，但又非常简单的一个命题：同底等高的三角形面积相等，我们今天也来研究这个趣味问题29 同高异底求面积 同学们都知道，如果一个正方形的边长是另一个正方形边长的3倍，那么前一个正方形的面积是后一个正方形面积的9倍其实质是：如果边长扩大或缩小几倍，那么正方形的面积就扩大或缩小几的平方倍三角形或四边形的一条边或几条边发生变化，面积又怎样变化呢？经典例题将图中ABC的各条边都延长一倍至，连接这些点得到一个新的若ABC的面积为1，求的面积解题策略(1)把ABC与相比较，由，边为底的高恰好是ABC以AB边为底的高的2倍，也就是的面积=ABC的面积2=12=2(2)同理，把ABC与同样相比较，可得的面积是2(3)同理，把ABC与同样相比较，可得的面积是2（4）的面积是：1+2+2+2=7 如图(1)把ABC的AB延长一倍到D，AC延长一倍到E，新三角形的面积是原来面积的4倍；如图(2)把ABC的BA延长一倍到D，AC延长一倍到E，新三角形的面积是原来面积的2倍 举一反三3.84.如图，将图中的四边形ABCD的各边都延长一倍至，连接这些点得到一个新的四边形若四边形ABCD的面积为1，求四边形的面积4.,.+1=54 4等底等高三角形的面积 三角形面积公式是：底高2：两个三角形只要它们的底和高相等，这两个三角形面积就相等。在解答一些平面图形的面积时，可以巧用等底等高两个三角形面积相等的方法来解答。典型题例 【SlIH】 四边形ABCD中，肘为AB的中点，为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM面积是多少？ 【思路】 图中阴影部分MBND、是一个不规则四边形，不能直接求出它的面积。如果对角线BD将四边形ABCD分为两个三角形，在ABD和BDC中，由于M，分别是AB，CD的中点，根据等底等高三角形面积的道理，可知阴影部分的两个三角形分别等于两个空白三角形的面积。 【详解】连接BD，如图。阴影部分面积是：802=40(平方厘米) 【诀窍】 通过画辅助线，容易找到等底等高的三角形，而三角形底边的中点和顶点的连线（三角形中线）能把一个三角形平分成两个面积相等的三角形。好题精练如图(1)，六边形ABCDEF的面积是l6平方厘米，M,N,P,Q分别是AB，CD，DE，AF的中点。求图中阴影部分的面积。 连结AD，AE，AC，可知阴影部分面积恰为六边形ABCDEF面积的一半，为162=8（平方厘米）如图(2)，在凸四边形ABCD中，延长边AB到使AB=延长BC到使BC=延长CD到使CD=延长DA到使DA=如果四边形ABCD的面积是18.5平方厘米，那么四边形的面积是多少？连结DC，AD，AC，AB，CB如右图(1)，找出等底等高三角形，可知四边形ABCD的面积是四边形ABCD面积的5倍。即18.55=92.5（平方厘米）如图(3)，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于E，AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD面积为1，求三角形EFG的面积。而EFG面积等于AFG，ABG，ABE三个三角形面积之和，也等于GEC，ADE，ABE三部分面积之和，进一步等于DBC与DAB面积之和，也就是等于四边形ABCD的面积。所以EFG的面积等于1