1.3 条件概率与贝叶斯公式,1.3.1 条件概率与乘法公式,1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式,实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率，记为,，这种概率,一般不同于,例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的） ？,解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间 =(男,男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女),设A=两个小孩中至少有一个男孩，B=两个小孩中至少有一个女孩，C=一个男孩子一个女孩，从而,例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女是等可能的） ？,解,B=(女, 女), (男, 女), (女, 男).,显然，P ( A ) = P ( B ) = 3/4。现在 B 已经发生，排除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的 B = B，而事件相应地缩小到 C =(男, 女)，(女, 男)，因此,A=(男, 男), (男, 女), (女, 男)，,C=(男, 女), (女, 男).,定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件，且 P(A)0，则称,1.3.1 条件概率与乘法公式,为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.,注：条件概率与普通概率有相类似的性质：,若 BC，则 P(BC)|A)= P(B|A)+ P(C|A).,条件概率的性质,1 非负性,2 规范性,3 可加性,其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.,(1) 在缩减的样本空间A中求B的概率，就得到P(B|A).,(2) 在中,先求P(AB)和P(A),在按定义计算P(B|A),计算条件概率有两种方法:,例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事件“两颗骰子的点数之和为4”，求,解一 以 ( i , j )表示两颗骰子的点数，则样本空间,于是所求概率为,一共有36个事件。且,B=(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6).,A=(1, 3), (2, 2), (3, 1)，,例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事件“两颗骰子的点数之和为4”，求,解二 当B发生时，样本空间缩减为,于是，,在新样本空间B中，,当,于是，,在新样本空间,发生时，样本空间缩减为,例 设某种动物由出生后活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？,解 设A=活到20岁，B=活到25岁， 则,P(A)=0.8, P(B)=0.4.,于是所求概率为,由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4，,例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：,（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；,（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.,解 设A=甲市是雨天，B=乙市是雨天，,则,例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设 A=“从盒中随机取到一只红球”,B = “从盒中随机取到一只新球”,解:,或,定理1.3.1 乘法公式,若(B)0, 则,P(AB) = P(B)P(A |B),推广 若P(A1 A2 An-1) 0，则 P(A1 A2 An) P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) P(An A1 A2 An-1).,若(A)0, 则,P(AB) = P(A)P(B|A),乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).,上面两式都称为乘法公式，利用它们可以计算两个事件同时发生的概率.,例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率； (2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。,解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2),(2) 由于,例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的概率； (2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的概率。,解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2),所以,(2) 由于,例 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球，如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率,解 设A=三次取出的均为黑球，Ai = 第i次取出的是黑球，i=1, 2, 3，则有 A=A1 A2 A3由题意得,故,该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型上述概率显然满足不等式 P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) .,这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此，若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的可能性就比较大所以，卜里耶模型常常被用作描述传染病传播或地震发生的数学模型,引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率,解 设A1从甲盒取出2个红球; A2 从甲盒取出2个白球; A3从甲盒取出1个白球1个红球; B=从乙盒取出2个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥, 且A1A2A3 ,所以 B = B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B) =P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3),1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式,引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率,解 B=B(A1A2A3)B A1B A2BA3B, P(B)=P(A1BA2BA3B) =P(A1B)P(A2B)P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B|A3),思考：这种解法是否可一般化？,1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式,定义1.3.2 设事件1, 2, ,n为样本空间 的一组事件。 如果,(1) Ai Aj= （ij）;,则称1，2，n为样本空间的一个划分。,1. 完备事件组（样本空间的一个划分）,(2),例如上例中的 1从甲盒取出 2 个白球， 2从甲盒取出 2 个红球， 3从甲盒取出 1 个白球 1 个红球， 就构成了一个完备事件组。,2. 全概率公式,定理 设试验E的样本空间为，设事件A1, A2, , An为样本空间的一个划分，且 P(Ai) 0 (i =1, 2, , n). 则对任意事件B，有,B,证明 因为Ai Aj = (ij),按概率的可加性及乘法公式有,例 设袋中有12个球, 9个新球, 3个旧球. 第一次比赛取3球, 比赛后放回, 第二次比赛再任取3球, 求第二次比赛取得3个新球的概率.,3. 全概率公式的应用,如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了完备事件组。,解 Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比赛取得3个新球 显然A0, A1, A2, A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：,例 设袋中有12个球, 9个新球, 3个旧球. 第一次比赛取3球, 比赛后放回, 第二次比赛再任取3球, 求第二次比赛取得3个新球的概率.,3. 全概率公式的应用,如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以用全概率公式试验E的几种可能的结果就构成了完备事件组。,解,例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子， 用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。,解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为B1，B2，B3，B4，则它们构成样本空间的一个划分，,用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒的事件，则由全概率公式,练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他迟到的概率,解 设A1他乘火车来，A2他乘船来，A3他乘汽车来，A4他乘飞机来，B它迟到。 易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得,=0.30.25 0.0.3 0.0.1 0.40 =0.145。,练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？,解 令B=取到的零件为合格品，Ai=零件为第i台机床的产品, i=1, 2. 此时, 全部的零件构成样本空间，A1, A2构成的一个划分。由全概率公式得:,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.,贝叶斯公式,1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。,解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2 , A3 两两互斥，且A1+A2+A3=, 所以,P(B) = P(A1)P(B|A1 ) +P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B|A3),1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求 (1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。,解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球；,(2) P(A1|B),1. 贝叶斯公式,定理 设A1，A2，An为样本空间的一个划分，且 P (Ai) 0（i=1,2,n），则对于任何一事件B ( P(B)0), 有,事实上，由条件概率的定义及全概率公式,1. 贝叶斯公式,定理 设A1，A2，An为样本空间的一个划分，且 P (Ai) 0（i=1,2,n），则对于任何一事件B ( P(B)0), 有,于是,事实上，由条件概率的定义及全概率公式,2. 贝叶斯公式的应用,(1) 如果试验E有两个相关的试验E1，