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27.1 一元二次方程,一、情境导入,初步认识,设计师在设计人体雕像时,一般都考虑到美学角度。雷锋纪念馆前的雷锋雕像,就符合黄金分割比例:腰部以上与腰部以下的高度比等于腰部以下与全身的高度比。,2m,xm,(2-x)m,二、思考探究,获取新知,解:依题意得:x=2(2-x), 即:x+2x-4=0, 显然这个方程只含有一个未知数, 且x的最高次数为2.,它是关于x的方程吗?如果是,你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?,如图,有一块矩形铁皮,长100cm。宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形?,探 究 1,解:设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,,x,100-2x,50-2x,列方程:(100-2x)(50-2x)=3600, 整理为: 4x-300x+1400=0, 化简得: x-75x+350=0.,探 究 2,要组织一次排球邀请赛,参加的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?,请问: (1)这次排球赛共安排 场; (2)若设应邀请x个队参赛,则每个队与其它 个队各比赛一场,这样应共有 场比赛; (3)由此可列出的方程为 , 化简得 。,28,x-1,x(x-1),x-x-56=0,归 纳 总 结,1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.,2.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a0), 其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项, b是一次项系数;c是常数项.,想 一 想,1.二次项的系数a为什么不能为0? 2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时,a、b、c都一定是正数吗?谈谈你的看法。,从探究2中我们可以看出,由于参赛球队的支数x只能是正整数,因此可列表如下:,可以发现,当x=8时,x-x-56=0,所以x=8是方程x-x-56=0的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.,-56,-54,-26,-14,0,-36,-44,-50,探 究 3,思 考,1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢?,使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根.,由于x=-7时,x-x-56=49-(-7)-56=0,故x=-7也是方程x-x-56的一个根。事实上,一元二次方程如果有实数根,则必然有两个实数根,通常记为x1=a,x2=b.,2.方程x-x-56=0有一个根为x=8,它还有其它的根吗?,三、典例精析,掌握新知,例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程,求此一元二次方程.,解:由题意有|m|=2且m+20, m=2, 因此原一元二次方程为4x+3x+2=0.,例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.,解:去括号,得3x-3x=5x+10,移项、合并同类项,得一元二次方程的一般形式为: 3x-8x-10=0 其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.,四、运用新知,深化理解,1.下列各式中,是一元二次方程的是( ) A.3x+ =0 B.ax+bx+c=0 C.(x-3)(x-2)=x D.(3x-1)(3x+1)=3,D,2.关于的方程(k-1)x|k|+1-2x=3是一元二次方程,则= 3.已知方程5x+mx-6=0的一个根为4,则的值为 ,-1,4.根据下列问题,列出关于x的问题,并将其化成一元二次方程的一般形式,指出其二次项系数、一次项系数及常数项: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;,4x-25=0,其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-25.,(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100, 求长方形的长x;,x-2x-100=0,其中二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-100.,(3)把长为1的长条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的平方,求较短一段的长x。,x-3x+1=0,其中二次项系数为1,一次项系数为-3,常数项为1.,五、师生互动,课堂小结,(1)一元二次方程的定义是什么?你知道它的一般式、二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么了吗? (2)一元二次方程一般形式ax+bx+c=0(a0)中的括号是否可有可无?为什么? (3)通过这节课的学习你还有哪些收获?,课 后 作 业,1.布置作业:从教材“习题27.1”中选取. 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.,
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